160518 初版 160521 更新
はじめに，負のべきを考えておきます。
2, 4, 8, 16, … のように，
2を初項として，2倍した数を右隣りに書くということを繰り返して数列を作ります。
ある項の右隣りは2倍した数，ある項の左隣りは\(\dfrac{1}{2}\) 倍した数です。
この点に注目して，この数列を 2 より左に拡張します。
…, \(\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2},\)1, 2, 4, 8, 16, …
このように，\(2^0=1\), \(2^{-1}=\dfrac{1}{2}\), \(2^{-2}=\dfrac{1}{4}\),
\(2^{-3}=\dfrac{1}{8}\) と 0以下の整数についても指数を定義します。
一般に 正の数 a に対して，\(a^0=1\), \(a^{-1}=\dfrac{1}{a}\),
n を自然数として，\(a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n = \dfrac{1}{a^n}\)
こうすると，整数m, n に対して，指数法則が成立します。
am・an = am+n,
am÷an = am-n,
(ab)n = an・bn
\(\alpha=\dfrac{17}{7}\) のn 進法表示を考えたいと思います。
まず，2 < α < 3 に注目します。
この 2 はα の整数部分と呼ばれています。
「はした」の部分，α - 2 はα の小数部分と呼ばれています。
小数部分は具体的には \(\dfrac{3}{7}\) です。
一般に，任意の有理数 α に対して，
隣り合う2つの整数 n, n+1 で，\(n\leqq\alpha\lt n+1\) なるn があります。
この n を整数部分と呼ぶのです。
小数部分は α - n となります。
小数部分の10進数表示を，10進小数展開あるいは小数表示と呼ぶことにします。
\(\dfrac{3}{7}\) の10進小数展開を求めてみましょう。
0 と 1 の間を10等分すると，
\(\dfrac{28}{70}\lt \dfrac{30}{70}\lt\dfrac{35}{70}\)より，
\(\dfrac{4}{10}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{5}{10}\)
であることがわかります。
\(\dfrac{4}{10}\) と \(\dfrac{5}{10}\) の間を10等分すると，
\(\dfrac{294}{700}\lt \dfrac{300}{700}\lt\dfrac{301}{700}\)より，
\(\dfrac{42}{100}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{43}{100}\)
であることがわかります。
\(\dfrac{42}{100}\) と \(\dfrac{43}{100}\) の間を10等分すると，
\(\dfrac{2996}{7000}\lt \dfrac{3000}{7000}\lt\dfrac{3003}{7000}\)より，
\(\dfrac{428}{1000}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{429}{1000}\)
であることがわかります。
このようにして，
1未満の正の数 a に対して，a = a
1・10
-1
+ a
2・10
-2
+ a
3・10
-3 + …
なる数列a
1, a
2, a
3, …
が一意に定まります。
a
k を 小数第k 位の数 といいます。
それぞれの a
k は 0 から 9 までの自然数です。
(\(\displaystyle{a=\sum_{k=1}^\infty a_k\cdot 10^{-k}}\) )
a
k たちの求め方は，筆算では，
| |
0. | 4 |
2 | 8 |
| 7 | ) | 3 | 0 |
| | 2 | 8 | |
| | | 2 | 0 |
| | | 1 | 4 | |
| | | | 6 | 0 |
| | | | 5 | 6 |
| | | | | 4 |
と書かれます。
\(\dfrac{3}{7}=0.42857142\cdots\)
a
k たちの求め方は，次のように表すことができます。
| k | a |
ak | 7・ak | rk |
| 1 | 30 | 4 | 28 | 2 |
| 2 | 20 | 2 | 14 | 6 |
| 3 | 60 | 8 | 56 | 4 |
| 4 | 40 | 5 | 35 | 5 |
| 5 | 50 | 7 | 49 | 1 |
| 6 | 10 | 1 | 7 | 3 |
| 7 | 30 | 4 | 28 | 2 |
| 8 | 20 | 2 | 14 | 6 |
10進小数展開とは，1に満たない 「はした」の部分は，
10等分したときのどの区分に入るかをみているのです。
また，はしたが出たら，その区分をさらに10等分する それを繰り返していきます。
r
k の列は，a を 7 で割った余りです。
それを 10 倍して，7で割った商と余りを求めています。
r
k は 3・10
k を 7で割った余りです。
数列 {r
n}: 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, …
は，初項 30, 公比 10 の等比数列を 7を法としてみた数列です。
一般に， 有理数の小数展開で現れるこの数列 {r
n}
は 0 が現れるか または 繰り返しをもちます。
分母を b としたとき，0 から b - 1 までの整数しか出てきませんので，
長くても b 項のうちには同じ数が出てくるからです。
したがって，数列 {a
n} も
どこかで終わるか(どこかから先はずっと0) または 繰り返しをもちます。
繰り返しをもつ小数を，循環小数と呼び，
繰り返しの単位を 循環節 ということにします。
循環節123 の循環小数 x = 0.123123123… は有理数でしょうか。
1000x = 123.123123123… ですから，x と 1000x は小数部分は
完全に一致します。したがって，1000x - x は整数 123 となります。
よって，x = \(\dfrac{123}{999}\) すなわち， x は有理数 \(\dfrac{41}{333}\) です。
このように，一般に 循環小数は有理数となります。
ところが，α = 0.110100010000000100…,
小数第n位は n = 2
k-1 なる自然数 k をもつとき 1, それ以外は 0,
すなわち，α = \(\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty10^{-2^{k-1}}}\) のように，循環しない小数表示をもつ数を作ることができます。
有理数(rational number) は 有限小数 または 循環小数 ですから，
有限小数でもない かつ 循環小数でもない数 は有理数ではありません。
このような数は 無理数 と呼ばれています。
有理数全体の
集合 \(\mathbb{Q}\)
と無理数全体の集合 の共通部分は空集合です。
有理数の集合と無理数の集合を互いに補集合とみて，
和集合を
実数 と呼んでいます。
\(\dfrac{3}{7}\) の5進小数展開を求めてみましょう。
0 と 1 の間を5等分すると，
\(\dfrac{14}{35}\lt \dfrac{15}{35}\lt\dfrac{21}{35}\)より，
\(\dfrac{2}{5}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{3}{5}\)
であることがわかります。
\(\dfrac{2}{5}\) と \(\dfrac{3}{5}\) の間を5等分すると，
\(\dfrac{70}{175}\lt \dfrac{75}{175}\lt\dfrac{77}{175}\)より，
\(\dfrac{10}{25}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{11}{25}\)
であることがわかります。
\(\dfrac{10}{25}\) と \(\dfrac{11}{25}\) の間を5等分すると，
\(\dfrac{371}{875}\lt \dfrac{375}{875}\lt\dfrac{378}{875}\)より，
\(\dfrac{53}{125}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{54}{125}\)
であることがわかります。
このようにして，
1未満の正の数 a に対して，a = a1・5-1
+ a2・5-2
+ a3・5-3 + …
なる数列a1, a2, a3, …
が一意に定まります。
それぞれの ak は 0 から 4 までの自然数です。
(\(\displaystyle{a=\sum_{k=1}^\infty a_k\cdot 5^{-k}}\) )
a
k たちの求め方は，次のように表すことができます。
| k | a |
ak | 7・ak | rk |
| 1 | 15 | 2 | 14 | 1 |
| 2 | 5 | 0 | 0 | 5 |
| 3 | 25 | 3 | 21 | 4 |
| 4 | 20 | 2 | 14 | 6 |
| 5 | 30 | 4 | 28 | 2 |
| 6 | 10 | 1 | 7 | 3 |
| 7 | 15 | 2 | 14 | 1 |
| 8 | 5 | 0 | 0 | 5 |
\(\dfrac{3}{7}=0.20324120\cdots{}_{(5)}\) 循環節の長さ 6 の小数展開をもちます。
\(\dfrac{3}{7}\) の2進小数展開を求めてみましょう。
0 と 1 の間を2等分すると，
\(\dfrac{0}{14}\lt \dfrac{6}{14}\lt\dfrac{7}{14}\)より，
\(0\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{1}{2}\)
であることがわかります。
0 と \(\dfrac{1}{2}\) の間を2等分すると，
\(\dfrac{7}{28}\lt \dfrac{12}{28}\lt\dfrac{14}{28}\)より，
\(\dfrac{1}{4}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{2}{4}\)
であることがわかります。
\(\dfrac{1}{4}\) と \(\dfrac{2}{4}\) の間を2等分すると，
\(\dfrac{14}{56}\lt \dfrac{24}{56}\lt\dfrac{28}{56}\)より，
\(\dfrac{3}{8}\lt \dfrac{3}{7}\lt\dfrac{4}{8}\)
であることがわかります。
このようにして，
1未満の正の数 a に対して，a = a1・2-1
+ a2・2-2
+ a3・2-3 + …
なる数列a1, a2, a3, …
が一意に定まります。
それぞれの ak は 0 から 1 までの自然数です。
(\(\displaystyle{a=\sum_{k=1}^\infty a_k\cdot 2^{-k}}\) )
a
k たちの求め方は，次のように表すことができます。
| k | a |
ak | 7・ak | rk |
| 1 | 6 | 0 | 0 | 6 |
| 2 | 12 | 1 | 7 | 5 |
| 3 | 10 | 1 | 7 | 3 |
| 4 | 6 | 0 | 0 | 6 |
| 5 | 12 | 1 | 7 | 5 |
| 6 | 10 | 1 | 7 | 3 |
| 7 | 6 | 0 | 0 | 6 |
| 8 | 12 | 1 | 7 | 5 |
\(\dfrac{3}{7}=0.01101101\cdots{}_{(2)}\) 循環節の長さ 3 の小数展開をもちます。
分母が7 である有理数は，どんな数n を基数にしても n進小数展開は
循環するならば，節の長さは6の約数になります。
初等整数論の興味深い帰結の一つです。