160517 初版 160517 更新
2つの集合A, B に対して，
C = A ∩ B,
D = A ∪ B,
E = \(\overline{A} ∩ \overline{B}\),
F = \(\overline{A} ∪ \overline{B}\) とします。
C の補集合を考えてみましょう。
x は x ∈ A，x ∉ B なる要素であると仮定します。
このとき，x ∉ C.
すなわち，\(x\in\overline{C}\).
一方，x ∉ E, x ∈ F なので，
E は C の補集合としては小さすぎます。
また，x ∈ D ですので，
F は D の補集合としては大きすぎます。
一般に
\(\overline{A\cap B}= \overline{A}\cup\overline{B}\),
\(\overline{A\cup B}= \overline{A}\cap\overline{B}\)
が成り立ちます。
これは
ド・モルガンの法則と呼ばれています。
2つの集合A, B に対して，
K = A ∩ B,
L = \(A ∩ \overline{B}\),
M = \(\overline{A} ∩ B\),
N = \(\overline{A} ∩ \overline{B}\) とします。
この4つの集合で全体集合U をもれなく重複なく覆いつくします。
どの2つの集合も共通部分は空集合 … ① で，
U = K ∪ L ∪ M ∪ N … ② という意味です。
N の補集合はどうなるでしょうか。
① ② より \(\overline{N}=K\cup L\cup M\).
\(K\cup L\)\(=(A\cap B)\cup(A\cap\overline{B})=A\),
\(K\cup M\)\(=(A\cap B)\cup(\overline{A}\cap B)=B\) ですから，
\(K\cup L\cup M = A\cup B\).
すなわち，\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\) が成り立ちます。
K の補集合はどうなるでしょうか。
① ② より \(\overline{K}=L\cup M\cup N\).
\(M\cup N =\overline{A}\), \(L\cup N=\overline{B}\) ですから，
\(L\cup M\cup N = \overline{A}\cup\overline{B}\).
すなわち，\(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\) が成り立ちます。