160524 初版 160524 更新
特に断りのない限り，文字は数を表すことにします。
数は乗法について，結合法則 (ab)c = a(bc),
交換法則 ab = ba が成り立ちますので，
積は順序に依りません。
3abx2y, -2bcxy3 のように，
数と文字が掛け合わさっているものを
項 と呼ぶことにします。
A を 3abx2y, B を -2bcxy3 とすると，
2つの項の積が自然に定義されます。
AB は BA と等しくて，-6ab2cx3y4.
2つの項の文字がどのような数をとっても，値が等しいとき，
その項は 同値である と呼びます。
例えば，(3abx2y) × (-2bcxy3)
と -6ab2cx3y4 は同値です。
結合法則，交換法則を用いて，文字を並べ換えたと見ることもできます。
文字以外を係数と呼んでいます。
例えば，上のA の係数は 3 です。
同じ項でも，係数は注目している文字によって変わります。
x と y については， A の係数は 3ab であるといいます。
このとき，文字の数を次数と呼んでいます。A は 3次の項であるといいます。
x については，Aの係数は 3aby で，2次の項であるといえます。
3abx2y + 2bxy2 のように，+ で項が連結されているものを
式 と呼んでいます。
3abx2y - 2bxy2 は
3abx2y + (-2bxy2) とみて，
3abx2y と -2bxy2 の連結とみることができます。
このように，単純な項からなる式を，多項式 あるいは 整式と呼んでいます。
例えば，3abx2y ように項１つだけも式と見て，
単項式と呼ぶことがあります。
項の次数で一番高いものを多項式の次数といいます。
例えば，x3+3xy2 は 3次式です。
この式は x については3次式，y については2次式です。
2つの多項式 A, B に対して，単に連結することによって加法が定義できます。
A + B と B + A は同値です。また，(A + B) + C と A + (B + C) は同値です。
連結は交換法則と結合法則が成り立ちますので，順序に依りません。
A + A は 2A と同値です。
このように，項には自然と整数が作用しています。
さらに，mA + nA と (m+n)A は同値です。
2つの式が同値であるとき，等号で結ぶことにします。
すなわち，mA + nA = (m+n)A.
また，m(A + B) = mA + mB が成り立ちます。
このことを分配法則と呼ぶことがあります。
A + (-B) を A - B と見ることによって，減法が定義できます。
この単純な結合法則，交換法則，分配法則によって，
式を同値な式に変形することを同値変形と呼んでいます。
3xy + 5xy = 8xy ですが，これを同類項をまとめる と呼ぶことにします。
x について，3ax2 と -2bx2 は次数が同じなので，
x については同類項みて
3ax2 - 2bx2 = (3a - 2b)x2
と同値変形することができます。
分配法則を逆に使っていることになります。
分配法則を用いることによって，2つの多項式には積(乗法)が定義できます。
例えば，
\((a+b)(a-b)\)
\(=(a+b)a-(a+b)b\)
\(=a^2+ba-ab-b^2\)
\(=a^2-b^2\)
このように，2つ以上の多項式の積を1つの多項式に同値変形することを，
積を
展開すると呼んでいます。
逆に a
2 - b
2 は (a + b) (a - b) と変形することが
できますが，こちら向きの同値変形を 積に
因数分解する と呼んでいます。
(a + b)
2 を展開すると a
2 + 2ab + b
2です。
a
2 - 2ab + b
2 は (a - b)
2 に
因数分解できます。
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\), \((x+1)^2=x^2+2x+1\), \(x(x+1)=6\) のように，2つの式が等号で結ばれたものも 式と呼ばれることがあります。
違いを明らかにするときには，これを 関係式 と呼ぶことにします。
前2つは等号で結ばれた2つの式は同値です。
最後の1つは同値ではありません。
等式 A = B において，A と B が同値であるとき，つまり
文字がどのような値をとってもA と B の値が等しいとき，
この等式は 恒等式 であるといいます。
そうでないとき，すなわち，
ある値にしか等しくならないとき，
言い換えると，等しくなる値が制限されているとき，方程式 と呼びます。
よく，\(3x^2+9xy+6y^2\)\(=x^2+3xy+2y^2\)\(=(x+y)(x+2y)\)
と書いてしまう人がいますが，
最初の等号の前後は同値ではありません。