寄せ算

　集合 A の要素の個数を n(A) と書くことにします。

　あるクラスの生徒の集合を U とします。 そのクラスの生徒の人数が 40人ということは， n(U) = 40 と表すことができます。
　そのうち，通学に自転車を利用している生徒の集合を A とします。 いま，n(A) = 22 とします。
　そのクラスのうち，通学に電車を利用している生徒の集合を B とします。 いま，n(B) = 12 とします。

　集合 A ∩ B は，自転車も電車も利用している生徒です。 いま，n(A ∩ B) = 5 … ① とします。
ここまでが設定です。

　集合 \(\overline{A}\) は，自転車を利用していない生徒です。 \(n(\overline{A})=18\) です。
これは，減法 の意味の一つ(残余)です。

　クラス全体のうち電車を利用している生徒の割合は， \(\dfrac{3}{10}\) です。
　集合 A ∩ B は，自転車を利用している生徒の中で， 電車も利用している生徒とみることができます。 自転車を利用している生徒のうちで，電車を利用している生徒の割合は， \(\dfrac{5}{22}\) です。
条件付き確率 でもう一度考察します。
これは，除法 の意味の一つ(割合)です。

　集合 \(\overline{A}∩ B\) は，電車を利用しているが， 自転車は利用していない生徒です。 \(n(\overline{A}∩ B)=7\) です。
これも，減法 の意味の一つ(残余)です。

　集合 \(A ∪ B\) は，自転車を利用しているか または 電車を利用している 生徒です。 \(n(A ∪ B)=29\) です。
\(n(A ∪ B) = n(A)+n(\overline{A}∩ B)\)
\(n(A ∪ B) = n(A∩ \overline{B})+n(B)\)
\(n(A ∪ B) = n(A)+n(B)-n(A∩ B)\)
が成り立ちます。 これは，加法 の意味の一つ(合併, 寄せ算)です。

　集合 \(\overline{A} ∩ \overline{B}\) は， 自転車も電車も利用していない生徒です。 ド・モルガンの法則により \(\overline{A} ∩ \overline{B}=\overline{A∪ B}\) ですから，
自転車も電車も利用していない生徒は 11人です。