直線の法線ベクトル

　方程式は，等式で表された関係式のことです。
ベクトル方程式は，図形上の任意の点P の 位置ベクトル についての関係式です。

点A \((\overrightarrow{a})\) を通り， 法線ベクトル \(\overrightarrow{n}\) をもつ 直線のベクトル方程式を求めてみましょう。
P が直線上にあることと \(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\rm AP}=0\) が成り立つことは同値です。
点P の 位置ベクトル を \(\overrightarrow{p}\) とすると， 始点変更公式 によって， \(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\) ですから，
\(\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\) これが，Pの位置ベクトルについての方程式です。

座標との関係を考えてみます。
P (x, y), A(x₁, y₁), \(\overrightarrow{n}=(a,b)\) とします。
\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\rm AP}=0\) は \(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\) となります。
逆に， 直線 ax + by + c = 0 の法線ベクトルは (a, b) です。