170926 初版 170926 更新
方程式は，等式で表された関係式のことです。
ベクトル方程式は，図形上の任意の点P の
位置ベクトル
についての関係式です。
通る点と方向ベクトルが与えられた直線のベクトル方程式
点A \((\overrightarrow{a})\) を通り，
方向ベクトル \(\overrightarrow{d}\) をもつ
直線のベクトル方程式を求めてみましょう。
P が直線上にあることと
\(\overrightarrow{\rm AP}=t\overrightarrow{d}\)
なる実数 t が存在することは同値です。
点P の
位置ベクトル
を \(\overrightarrow{p}\) とすると，
始点変更公式
によって，
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\) ですから，
\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{d}\)
これが，Pの位置ベクトルについての方程式です。
t は媒介変数と呼ばれます。
直線上の点 と 実数 t が，一対一に対応します。
座標との関係を考えてみます。
P (x, y), A(x1, y1),
\(\overrightarrow{d}=(a,b)\) とします。
\(\overrightarrow{\rm AP}=t\overrightarrow{d}\) は
\((x-x_1,y-y_1)=t(a,b)\) ですので，
\(\left\{\begin{array}{l}
x=x_1+at\cr
y=y_1+bt\cr
\end{array}
\right.\)
これは，直線の媒介変数表示と呼ばれます。
与えらえた2点を通る直線のベクトル方程式
2点A \((\overrightarrow{a})\)，
B \((\overrightarrow{b})\)として，
直線ABのベクトル方程式を求めてみましょう。
P が直線上にあることと
\(\overrightarrow{\rm AP}=t\overrightarrow{\rm AB}\)
なる実数 t が存在することは同値です。
点P の
位置ベクトル
を \(\overrightarrow{p}\) とすると，
始点変更公式
によって，
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\)，
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\) ですから，
\(\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\)
これが，Pの位置ベクトルについての方程式です。
t は媒介変数と呼ばれます。
直線上の点 と 実数 t が，一対一に対応します。
座標との関係を考えてみます。
P (x, y), A(x1, y1),
B(x2, y2)とします。
\(\overrightarrow{\rm AP}=t\overrightarrow{\rm AB}\) は
\((x-x_1,y-y_1)=t(x_2-x_1,y_2-y_1)\) ですので，
\(\left\{\begin{array}{l}
x=x_1+(x_2-x_1)t\cr
y=y_1+(y_2-y_1)t\cr
\end{array}
\right.\)
直線ABの媒介変数表示です。
通る点と法線ベクトルが与えられた直線のベクトル方程式
点A \((\overrightarrow{a})\) を通り，
法線ベクトル \(\overrightarrow{n}\) をもつ
直線のベクトル方程式を求めてみましょう。
P が直線上にあることと
\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\rm AP}=0\)
が成り立つことは同値です。
点P の
位置ベクトル
を \(\overrightarrow{p}\) とすると，
始点変更公式
によって，
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\) ですから，
\(\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)
これが，Pの位置ベクトルについての方程式です。
座標との関係を考えてみます。
P (x, y), A(x1, y1),
\(\overrightarrow{n}=(a,b)\) とします。
\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{\rm AP}=0\) は
\(a(x-x_1)+b(y-y_1)=0\) となります。
逆に，
直線 ax + by + c = 0 の法線ベクトルは (a, b) です。