170104 初版 170104 更新
a, b を2つの実数とすると，
必ず次の関係のうち1つだけが成り立ちます。
a < b, a = b, a > b
実数の大きな性質のうちの一つです。
したがって，すべての実数を直線状に並べることができます。
すべての実数を並べた直線を数直線と呼んでいます。
水平に伸びる直線であれば，
すべての実数が左から右へ，小さいほうから大きいほうに並んでいて，
どこかに原点 0 と 右に 1 だけ離れた点を取ります。
すると，点と数が 1対1 に対応します。
\(x^2+2x\), \(x+2\) のように
いくつかの項からなる式を単に式と呼んでいます。
不等式 \(x^2+2x \gt x+2\) は
この2つの式の値の大小関係を表す式です。
| x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
| \(x^2+2x\) |
3 |
0 |
-1 |
0 |
3 |
8 |
15 |
| \(x+2\) |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
不等式 \(x^2+2x > x+2\) を
解く とは
この不等式を満たす x の値をすべて挙げることです。
x > 1 ならば 不等式 \(x^2+2x > x+2\) が
成り立つ とは
1 より大きい x の値に対しては，
常に \(x^2+2x\) は \(x+2\) より大きい ということです。
関数 f(x) が ある区間で単調に増加するとは，
a < b なる区間内の任意のa, bをとったとき，
f(a) < f(b) が成り立つことをいいます。
関数 f(x) が ある区間で単調に減少するとは，
a < b なる区間内の任意のa, bをとったとき，
f(a) > f(b) が成り立つことをいいます。
1次関数 y = x + 3 は常に単調に増加します。
つまり，a < b ならば a + 3 < b + 3 が成り立ちます。
1次関数 y = x - 5 は常に単調に増加します。
つまり，a < b ならば a - 5 < b - 5 が成り立ちます。
1次関数 y = 3x は常に単調に増加します。
つまり，a < b ならば 3a < 3b が成り立ちます。
1次関数 \(y = \dfrac{1}{3}x\) は常に単調に増加します。
つまり，a < b ならば \(\dfrac{1}{3}a < \dfrac{1}{3}b\) が成り立ちます。
1次関数 y = -3x は常に単調に減少します。
つまり，a < b ならば -3a > -3b が成り立ちます。
1次関数 \(y = -\dfrac{1}{3}x\) は常に単調に減少します。
つまり，a < b ならば \(-\dfrac{1}{3}a > -\dfrac{1}{3}b\) が成り立ちます。
一般に，次のような性質が成り立ちます。
任意の c に対して，a < b ⇔ a + c < b + c
任意の c に対して，a < b ⇔ a - c < b - c
任意の正の数 c に対して，a < b ⇔ ac < bc
任意の負の数 c に対して，a < b ⇔ ac > bc
任意の正の数 c に対して，a < b ⇔ \(\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}\)
任意の負の数 c に対して，a < b ⇔ \(\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}\)