対数関数

　集合Aを実数全体, 集合Bを正の数全体とします。 Aの要素 x に対して，2^x を結びつけるとこれはBの要素になります。

A	-2	-1	0	\(\dfrac{1}{2}\)	1	\(\dfrac{3}{2}\)	2	3	4	5
B	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	1	\(\sqrt{2}\)	2	\(2\sqrt{2}\)	4	8	16	32

この対応① を f とします。f(x) = 2^x
f は単射で，f(m + n) = f(m)・f(n) が成り立ちます。

A	m	n	m + n	m + 1
B	M	N	M・N	2M

　この逆対応② を考えます。 正の数全体である集合Bの要素 x に対して， 実数全体である集合A の要素は 1対1 に結びついて，

B	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	1	\(\sqrt{2}\)	2	\(2\sqrt{2}\)	4	8	16	32
A	-2	-1	0	\(\dfrac{1}{2}\)	1	\(\dfrac{3}{2}\)	2	3	4	5

B の要素 x に対応するA の値 f^-1(x) を，
底を2 としたときの，x の対数(logarithm of x to the base 2, the base 2 logarithm of x)といいます。

　一般に \(a^r=R\) のときに，\(r=\log_aR\) となります。
対数とは，Bの要素の正の数を あるものさし で計っている感覚です。 対数スケールでみる と呼んでいます。 底が2の対数スケールで計った値が， 対応表② だといえます。

　対応f はA における加法とB における乗法と可換な準同型写像でしたから，
対数の性質③ \(\log_a MN=\log_aM+\log_aN\) が成り立ちます。
対応表② において， Bにおいて値が2倍になると，対応する対数は 1 増えるといえます。

B	M	N	M・N	2M
A	m	n	m + n	m + 1

　対数は Napier が発見したといわれています。 性質③ によって，Bの世界における乗除が， Aの世界における加減になりますので， ②のような対数表があれば， 計算がずいぶん楽になります。 計算機のない時代には，大きな出来事でした。 さらに，計算尺が発明されると， 乗除はものさしのスライドで求めることができました。
　これは，計算機のある現代からすると，おとぎ話の世界です。 残念ながらありがたみはわきません。 現代は対数は用無しかといわれれば， そんなことはなく， 自然現象の多くは指数関数で表されますから， それを，線形的にとらえるには，対数スケールで計るという見方が 大切になります。
　人の感覚は足し算の世界ではないようです (Weber-Fechnerの法則)。 例えば，音の高さ，大きさは人は差ではなくて，比でとらえています。 440 Hz はA4，C4は 約523.25 Hz ですが， 880 Hz はA5, C5は 約1046.5 Hz です。 音圧では，20dB違うと10倍，40dB差で100倍の違いがあります。 音階，デシベルは対数の考えであるといえます。

対数の性質
\(\log_aMN=\log_aM+\log_aN\),  \(\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\),  \(\log_aM^p=p\log_aM\)

　集合B の要素を異なる底の対数スケールで計ってみましょう。

B	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	1	\(\sqrt{2}\)	2	\(2\sqrt{2}\)	4	8	16	32
base 2	-2	-1	0	\(\dfrac{1}{2}\)	1	\(\dfrac{3}{2}\)	2	3	4	5
base 4	-1	\(-\dfrac{1}{2}\)	0	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{3}{4}\)	1	\(\dfrac{3}{2}\)	2	\(\dfrac{5}{2}\)

底が2 のものさしで計って1増えるということは，Bの世界では2倍です。 底が4 のものさしで計って1増えるということは，Bの世界では4倍です。
一般に，底の変換公式と呼んでいます。
\(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\)
対数は実質1種類しかありません。 底としては10, 2, e (Napier数) がよく用いられます。 \(\log_{10}x\) を常用対数，\(\log_ex\) を自然対数と呼んでいます。