131110 初版 131110 更新
点 F は動かせます。
F は 辺 AB を n : (1-n) に内分する点とする。
D は 辺 BC を 1 : m に内分する点とする。
G は CF をどのように分ける点だろうか。
△GAF と △GAB の面積比は，
△GAF : △GAB = AF : AB = n : 1
BD : DC = 1 : m であるから，
△GAB : △GAC = 1 : m
したがって，
△GAC : △GAF = m : n
すなわち，
G は CF を m : n に内分する。
CG : GF = m : n
これを三角形BCFのメネラウスの定理という。
\(\dfrac{\rm BD}{\rm DC}\cdot\dfrac{\rm CG}{\rm GF}\cdot\dfrac{\rm FA}{\rm AB}=1\)
メネラウスの定理は，三角形の面積比と線分の分点の関係を使うと証明できる。