131110 初版 131110 更新
小平邦彦先生の「幾何への誘い」(岩波現代文庫)に誘われて，
この
幾何学1
では「一応正確に描いた図を見れば真であることが明らかな命題」
をもとに高校生向きの幾何学を構成していく。
いま，D を 辺BC の中点とする。
F が 辺 AB の中点であるならば，
AD と CF の交点は
重心G である。
三角形AFC と ABC は
AF, AB を底辺と見ると 高さは等しいので，
面積比は △AFC : △ABC = AF : AB = 1 : 2
このことは，2辺夾角の面積の公式を知るならば，
次のようにとらえることもできる。
三角形AFC と ABC は
AC と ∠ BAC が共通なので，
面積比は △AFC : △ABC = AF : AB
同様にして，
△GAF = △GBF …①
△GBD = △GCD …②
また，BD = DC より，
△GAB = △GAC …③
① ② ③より
△GAC = 2△GAF
よって，G は CF を 2 : 1 に内分する。
したがって，
△GAF = △GBF = △GBD = △GCD
また，
△GAB = △GBC = △GCA