並べ換え　置換

順列と組合せ，ジュンクミなんていうひともいうが，とても歯がゆい言葉である。
順列も異なるものか同じものを含むか，全部並べるのか部分的に並べるのか，一列に並べるのか円形に並べるのか，とそれぞれ少しずつ異なる。
重複順列と重複組合せという用語は難解である。このあたり，数学用語というより，受験用語なのだろう。
ならべかえというと私の計算機(コンピュータ)ではまず並べ替えがでてくる。替えという言葉はさらに私の計算機では「AにかえてBにする」とでてくる。交代，交替，交換，言葉は難しい。

この頁では，置換を取り扱う。
関数で sin θ を t と置くというのとは違う。
異なるものの並べ換えについて語る。

異なるものを表すには，自然数が便利である。
例えば，5個の異なるものには，1, 2, 3, 4, 5と数を割り当てて抽象化する。

異なる2個の置換を

$\mathfrak{S}_2$ , 3個の置換を

$\mathfrak{S}_3$ などと書くことにする。

$\mathfrak{S}_2$ から

$\mathfrak{S}_3$ を作る方法をいくつか挙げる。

(I)
並び abc の a として1, 2, 3としたとき，
bcとして，残り2数を小さい順に並べたものを基点とする。
すなわち，123, 213, 312の3個を基点とする。次に abc の bc に

$\mathfrak{S}_2$ による並べかえを行う。
すなわち，abc → abc, acb
123 → 123, 132
213 → 213, 231
312 → 312, 321
小さいものから順に現れるメリットはある。

(II)

$\mathfrak{S}_2$ の元の末尾に3をつけたものを基点とする。
すなわち，123, 213
次に，それぞれ，2番と3番，1番と3番の互換を行う。 123 → 123, 132, 321
213 → 213, 231, 312

(III)

$\mathfrak{S}_2$ のそれぞれの元 ab の前後およびあいだに3を入れる。
すなわち，ab → ab3, a3b, 3ab
12 → 123, 132, 312
21 → 213, 231, 321

4つのもの 1, 2, 3, 4 の置換は，
1234, 1243, 1324, 1343, 1423, 1432
2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421
4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321
の24通りである。

$\mathfrak{S}_3$ から

$\mathfrak{S}_4$ を作る方法をいくつか挙げる。
数学のもつ表現力がクローズアップされてきている。
私たちもその表現力を身につけたいところである。ここでは状態を定式化するために自然数を用いている。
さらに，操作を定式化してみよう。

(I)
並び abcd の a として1, 2, 3, 4としたとき，
bcdとして，残り3数を小さい順に並べたものを基点とする。
すなわち，1234, 2134, 3124, 4123の4個を基点とする。次に abcd の bcd に

$\mathfrak{S}_3$ による並べかえを行う。
すなわち，

もと	→	123	132	213	231	312	321
abcd	→	abcd	abdc	acbd	acdb	adbc	adcb
1234	→	1234	1243	1324	1342	1423	1432
2134	→	2134	2143	2314	2341	2413	2431
3124	→	3124	3142	3214	3241	3412	3421
4123	→	4123	4132	4213	4231	4312	4321

小さいものから順に現れるメリットはある。

並べかえの元を数で表すと，その数を並びの順番と見ることができる。

(II)

$\mathfrak{S}_3$ の元の末尾に4をつけたものを基点とする。
すなわち，1234, 1324, 2134, 2314, 3124, 3214
次に，それぞれ，3番と4番，2番と4番，1番と4番の互換を行う。

1234	→	1234	1243	1432	4231
1324	→	1324	1342	1423	4321
2134	→	2134	2143	2431	4132
2314	→	2314	2341	2413	4312
3124	→	3124	3142	3421	4123
3214	→	3214	3241	3412	4213

並び順を入れ換えているので，
例えば，この表の3行目から4行目を作るには，数字としての1と3を入れ換えればよい。

(III)

$\mathfrak{S}_3$ のそれぞれの元 abc の前後およびあいだに4を入れる。
すなわち，abc → abc4, ab4c, a4bc, 4abc

123	→	1234	1243	1423	4123
132	→	1324	1342	1432	4132
213	→	2134	2143	2413	4213
231	→	2314	2341	2431	4231
312	→	3124	3142	3412	4312
321	→	3214	3241	3421	4321

いろいろな説明があるが，
並び換えは逐次的(successive), 帰納的(inductive)，再帰的(recursive)な考えである。
入れ子(マトリョーシカ人形)の状態になっている。

数えること