三角形ABCにおいて，BC=a, CA=b, AB=c とする。
三角形ABCの外接円の半径を R とすると，
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)
比で書けば，a : b : c = sin A : sin B : sin C
第1余弦定理は定理としては教科書には書かれていないが、
「垂線をひく」、「垂線に注目する」ことと、
三角比のよさを体現する考え方である。
図のように，三角形ABC(直角三角形ではないとしよう)の点Cから対辺ABに垂線CDをひく。
CD = b sin A = a sin B だから，
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\) ①
同様に，
点Bから対辺ACに垂線BEをひく。
BE = c sin A = a sin C だから，
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}\) ②
① ② より
\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)
比で書けば，a : b : c = sin A : sin B : sin C