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三角形ABCにおいて,BC=a, CA=b, AB=c とする。
三角形ABCの外接円の半径を R とすると,
asinA=bsinB=csinC=2R
比で書けば,a : b : c = sin A : sin B : sin C
第1余弦定理は定理としては教科書には書かれていないが、
「垂線をひく」、「垂線に注目する」ことと、
三角比のよさを体現する考え方である。
図のように,三角形ABC(直角三角形ではないとしよう)の点Cから対辺ABに垂線CDをひく。
CD = b sin A = a sin B だから,
asinA=bsinB ①
同様に,
点Bから対辺ACに垂線BEをひく。
BE = c sin A = a sin C だから,
asinA=csinC ②
① ② より
asinA=bsinB=csinC
比で書けば,a : b : c = sin A : sin B : sin C