MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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数列は図形と並ぶ，数学で取り扱う基本的な事柄だと思う。
数列 {an} は 初項 2 公差 3 の等差数列とする。
数列 {bn} は 初項 1 公差 4 の等差数列とする。
an = 3n - 1 であるが、2以上の整数のうち 3で割って余りが 2 の数である。
bn = 4n - 3 であるが、1以上の整数のうち 4で割って余りが 1 の数である。
数列は、まずやってみる。
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
… |
| an |
2 |
5 |
8 |
11 |
14 |
17 |
20 |
… |
| bn |
1 |
5 |
9 |
13 |
17 |
21 |
25 |
… |
2つの数列
{an}, {bn} に共通する数を小さい順に並べたものを
{cn} とすると、
{cn} は 初項 5 公差 12 の等差数列である。
一般項は cn = 12n - 7
5以上の整数のうち 12で割って余りが 5 の数である。
答えだけなら、表から探せばいい。
この公差 12 は 2つの数列の公差の最小公倍数である。
初項はこのくらいなら見つけるのが一番早い。
{cn} の 項は {an} にあることをいう。
cn = 12n - 7 = 3(4n - 2) - 1 だから、
{cn} の 第 n 項は、{an} の 第 (4n - 2) 項である。
{cn} の 項は {bn} にあることをいう。
cn = 12n - 7 = 4(3n - 1) - 3 だから、
{cn} の 第 n 項は、{an} の 第 (3n - 1) 項である。
3k - 1 = 4l - 3 とすると、3 × 2 - 1 = 4 × 2 - 3 を用いて
3(k - 2) = 4(l - 2) と変形できる。
3 と 4 は互いに素だから、k-2 は 4 の倍数 l-2 は 3 の倍数である。
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
… |
| k-2 |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
… |
| l-2 |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
… |
これ以外のk, l では 3k - 1 = 4l - 3 を満たすものはない。