数列は図形と並ぶ，数学で取り扱う基本的な事柄だと思う。
数列 {an} は 初項 2 公差 3 の等差数列とする。
数列 {bn} は 初項 1 公差 4 の等差数列とする。
an = 3n - 1 であるが、2以上の整数のうち 3で割って余りが 2 の数である。
bn = 4n - 3 であるが、1以上の整数のうち 4で割って余りが 1 の数である。
数列は、まずやってみる。
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
… |
| an |
2 |
5 |
8 |
11 |
14 |
17 |
20 |
… |
| bn |
1 |
5 |
9 |
13 |
17 |
21 |
25 |
… |
2つの数列
{an}, {bn} に共通する数を小さい順に並べたものを
{cn} とすると、
{cn} は 初項 5 公差 12 の等差数列である。
一般項は cn = 12n - 7
5以上の整数のうち 12で割って余りが 5 の数である。
2つの数列
{an}, {bn} にどちらかに含まれる数を小さい順に並べたものを
{dn} とする。
ただし、共通項はどちらか1つとする。
どちらかに含まれるだから、共通項はもちろんよい。
表の観察でわかるとおり、周期 12 が キーナンバーである。
{an} は 3で割って余り2 の数だから、
12で割ると余りは、2, 5, 8, 11 である。
{bn} は 4で割って余り1 の数だから、
12で割ると余りは、1, 5, 9 である。
したがって、
{dn} は
12で割ると余りは、1, 2, 5, 8, 9, 11 である。
表形式でならべると、
| 1 |
1 | 2 | 5 | 8 | 9 | 11 |
| 2 |
13 | 14 | 17 | 20 | 21 | 23 |
| 3 |
25 | 26 | 29 | 32 | 33 | 35 |
| 4 |
37 | 38 | 41 | 44 | 45 | 47 |
となる。