http://goo.gl/MFRFj 130106 初版
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3行目をみると，1, 4, 7, 10, 13, …には共通点がある。
想像である。10進法の考えも，アラビア数字すらない時代であるが，
繰り返しという規則性の中に倍数，約数の考えを見ることができる。
| n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| 3n |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
27 |
30 |
33 |
36 |
| 4n |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
40 |
44 |
48 |
| 6n |
0 |
6 |
12 |
18 |
24 |
30 |
36 |
42 |
48 |
54 |
60 |
66 |
72 |
いつものように数学を構成してみる。
繰り返しがテーマである。
逐次的に数列を生成しているイメージも大切である。
表の2行目は3の倍数を並べてあるが，
1, 4, 7, 10, 13,…はどれも3の倍数のすぐ右隣である。
初項が1，公差が3の
等差数列
と見ることもできる。
これを，4 ≡ 1 (mod 3) と書くことにする。
1 ≡ 4 (mod 3) であるし，
4 ≡ 7 (mod 3),
10 ≡ 7 (mod 3),
13 ≡ 4 (mod 3), … である。
合同式は余りの略記号だと思っているととんでもない。
合同式のよさの一寸も使っていない。
1 ≡ 4 ≡ 7≡ 10 ≡ -2 ≡ -5 ≡ 3n-2 ≡ 6n+1 (mod 3) (ここで n は整数)
整数 a, b, pに対して，
a-b=pq なる整数 q があるとき， a ≡ b (mod p) とかく。
定理:
b は自然数とする。
整数 aに対して，次の条件を満たす r が一意に存在する。
a ≡ r (mod b) かつ r は 0 以上 b 未満の整数
このとき，a-r=bq なる q を，
a を b で割った商，r を余りという。
n を整数として， bn は等間隔に限りなく存在する。
よって，\(bq\leqq a < b(q+1)\) なる 整数 q がある。
これが商q である。 a-bq が余り r である。
\( a = bq+r = bq^\prime + r^\prime \) とすると，
\(b(q-q^\prime)=r^\prime -r\) となり，
\(r^\prime -r\) は bの倍数。
rのとり方によって， \(r-r^\prime=0\)
よって， \(r=r^\prime\), \(q=q^\prime\)
a, b, c, p は整数
(I) a ≡ b (mod p) ⇔ a+c ≡ b+c (mod p)
(II) a ≡ b (mod p) ⇔ a-c ≡ b-c (mod p)
(III) a ≡ b (mod p) ならば ac ≡ bc (mod p) 逆は必ずしも成り立たない
40 ≡ 10 (mod 15) であるが，15を法としたとき4と1は合同ではない。