三角形ABC がある。
\(\overrightarrow{\rm AB}=\vec{b}\),
\(\overrightarrow{\rm AC}=\vec{c}\) とする。
すなわち，
各点の位置ベクトルの基点を A として，
点B, C の位置ベクトルはそれぞれ \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) である
と言っているのである。
この解釈は大切である。
線分 AB を 1:2 に内分する点を Q とすると，
A に関する Q の位置ベクトル すなわち \(\overrightarrow{\rm AQ}\) は
\(\dfrac{1}{3}\vec{b}\) である。
線分 BC を 2:3 に内分する点を P とすると，
A に関する P の位置ベクトル は
\(\overrightarrow{\rm AP}=\dfrac{3}{5}\vec{b}+\dfrac{2}{5}\vec{c}\)
Pの位置は Bの位置に \(\dfrac{3}{5}\) を掛けたものと
Cの位置に \(\dfrac{2}{5}\) を掛けたものを結合して得られる。
これは，次のように説明できる。
B, P, C の位置関係から，
\(\overrightarrow{\rm BP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{\rm BC}\)
始点を変更して，
\(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB}
=\dfrac{2}{5}(\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB})\)
すなわち，
\(\overrightarrow{\rm AP}=\dfrac{3}{5}\vec{b}+\dfrac{2}{5}\vec{c}\)
また，次のようにも説明できる。
B, P, C の位置関係から，
\(\overrightarrow{\rm BP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{\rm BC}\)
有向線分を継ぎ足して，
\(\overrightarrow{\rm AP}=
\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BP}\)
\(=\overrightarrow{\rm AB}+
\dfrac{2}{5}\overrightarrow{\rm BC}\)
\(=\vec{b}+\dfrac{2}{5}(\vec{c}-\vec{b})\)
よって，
\(\overrightarrow{\rm AP}=\dfrac{3}{5}\vec{b}+\dfrac{2}{5}\vec{c}\)
上に述べた2つの説明は，
公式を具体的な場合について説明しているに過ぎない。
問題を解いているときに手間取っている人がいるが，
多くは，公式を導き出す過程をいちいちやっている。
一連の流れで問題を解いているときに，
さっと流せるところは，流してしまわないと，
全体の流れを見失うことがあるので，
気を付けたいところである。