等比数列 {an} は，
任意の自然数 n について，定数 r によって
an+1 = an r
と定義される数列であった。
等比数列の 初項から第n項までの和 を一気に求める。
そのアイディアを学ぼう。
一般に 初項 a, 公比 r (\(r\not= 1\)), 項数を n として
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1 |
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2 |
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3 |
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… |
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(n-2) |
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(n-1) |
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n |
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| S |
= |
a |
+ |
ar |
+ |
\(ar^2\) |
+ |
… |
+ |
\(ar^{n-3}\) |
+ |
\(ar^{n-2}\) |
+ |
\(ar^{n-1}\) |
| rS |
= |
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ar |
+ |
\(ar^2\) |
+ |
… |
+ |
\(ar^{n-3}\) |
+ |
\(ar^{n-2}\) |
+ |
\(ar^{n-1}\) |
+ |
\(ar^{n}\) |
| (1-r)S |
= |
a |
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- |
\(ar^n\) |
等比数列で数を 横一列に並べる。公比を r とする。
一行目，第1項 から 第n項 まで n項 並べる。
二行目，r倍したものを n項 並べる。
一行目と二行目を比べると，一行目の 第1項 と二行目の 第n項 以外は同じ数が並ぶ。
よって，
\(r\not= 1\) とする。項数は n とする。
\(a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-3}+ar^{n-2}+ar^{n-1}=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\)
Σ記号を使えば \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}}\)
この和の求め方をΣ記号で表すと，
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}}\),
\(\displaystyle{rS=\sum_{k=1}^{n}ar^k
=\sum_{k=2}^{n+1}ar^{k-1}
=\sum_{k=1}^{n}ar^{k-1}+a(r^n-1)}\)
\(\displaystyle{(r-1)S=a(r^n-1)}\)