141124 初版 141124 更新

無理数の小数展開

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ここでは，無理数の小数展開について考える。

例1 いわゆる 開平法 (10進)

\(\sqrt{2}\) = 1.4142 …
\((a+b)^2=a^2+(2a+b)b\) を用いている。
n \((10a_{n-1})^2\) \(10\cdot 2a_{n-1}\) \((10\cdot 2a_{n-1}+q_n)q_n\) 余り \(a_n=10a_{n-1}+q_n\)
1 100 20 96 4 14
2 19600 280 281 119 141
3 1988100 2820 11296 604 1414
4 199939600 28280 56564 3836 14142

例2 いわゆる ニ分法 (2進)

\(\sqrt{2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{32} +\dfrac{1}{128}+\dfrac{1}{8192}+\dfrac{1}{65536}+\cdots\)
分母 \(2^{2n}\) は省略
n 左端の2乗 中央の2乗 右端の2乗 2 \(a_n\)
1 4 9 16 8 0
2 16 25 36 32 1/4
3 100 121 144 128 1/8
4 484 529 576 512 0
5 1936 2025 2116 2048 1/32

この二分法は例1の考えを使って改良できる。 あえて，書かないことにする。

あとは，筆算でどう書くかの違いだけ。
立方根の計算法は課題として残しておこう。