141124 初版 141124 更新
ここでは，有理数の小数展開について考える。
例1
\(a_1=\dfrac{17}{7}\) を帯分数で表すと，
\(2+\dfrac{3}{7}\) である。
(17 = 7×2 + 3)
\(a_1\) の
小数部分
は \(\dfrac{3}{7}\) である。
10倍する(\(a_2\) とおく)と \(0 < a_2=\dfrac{30}{7} < 10\)
\(a_2\) の整数部分と
小数部分を考えることができる。
| n |
an |
pn: anの整数部分 |
qn: anの小数部分 |
| 1 |
\(\dfrac{17}{7}\) |
2 |
\(\dfrac{3}{7}\) |
| 2 |
\(10q_1=\dfrac{30}{7}\) |
4 |
\(\dfrac{2}{7}\) |
| 3 |
\(10q_2=\dfrac{20}{7}\) |
2 |
\(\dfrac{6}{7}\) |
| 4 |
\(10q_3=\dfrac{60}{7}\) |
8 |
\(\dfrac{4}{7}\) |
| 5 |
\(10q_4=\dfrac{40}{7}\) |
5 |
\(\dfrac{5}{7}\) |
| 6 |
\(10q_5=\dfrac{50}{7}\) |
7 |
\(\dfrac{1}{7}\) |
| 7 |
\(10q_6=\dfrac{10}{7}\) |
1 |
\(\dfrac{3}{7}\) |
| 8 |
\(10q_7=\dfrac{30}{7}\) |
4 |
\(\dfrac{2}{7}\) |
q
n の分子は，
法を7 とする，初項 3, 公比 10 の
等比数列である。
3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, …
\(\dfrac{3}{7}\) を 10進小数に展開すると，
428571を繰り返す循環節の長さ6 の循環小数である。
例2
\(a_1=\dfrac{17}{7}\) を帯分数で表すと，
\(2+\dfrac{3}{7}\) である。
(17 = 7×2 + 3)
a
1 の2進展開は，整数部分は 10
(2)である。
\(a_1\) の
小数部分
は \(\dfrac{3}{7}\) である。
2倍する(\(a_2\) とおく)と \(0 < a_2=\dfrac{6}{7} < 2\)
\(a_2\) の整数部分と
小数部分を考えることができる。
| n |
an |
pn: anの整数部分 |
qn: anの小数部分 |
| 1 |
\(\dfrac{17}{7}\) |
2=10(2) |
\(\dfrac{3}{7}\) |
| 2 |
\(2q_1=\dfrac{6}{7}\) |
0 |
\(\dfrac{6}{7}\) |
| 3 |
\(2q_2=\dfrac{12}{7}\) |
1 |
\(\dfrac{5}{7}\) |
| 4 |
\(2q_3=\dfrac{10}{7}\) |
1 |
\(\dfrac{3}{7}\) |
q
n の分子は，
法を7 とする，初項 3, 公比 2 の
等比数列である。
3, 6, 5, 3, 6, …
\(\dfrac{3}{7}\) を 2進小数に展開すると，
011を繰り返す循環節の長さ3 の循環小数である。