141124 初版 141124 更新
ここでは 1次不定方程式について記す。
まずは解いてみよう。
断らない限り文字は整数を表す。
例1 4x + 7y = 1
基本は見つけること。
左辺を 4 で割った余りは 7y と同じ，右辺を 4 で割った余りは 1
このことを 4 を法としてみる という。
(係数の小さい数の法で見るとよい)
4 を法としてみると
y は 0, 1, 2, 3 の 4通りを考えれば十分である。
4 を法として，
7y が 1 と等しくなる(合同である というのが丁寧)のは，
y = 3 のとき
4 x + 7 × 3 = 1 を解いて，
x = -5
よって，解のひとつは (x, y) = (-5, 3)
一般解は k を整数として (x, y) = (-5 + 7k, 3 + 4k)
例1' 4x + 7y = 1
改良版
両辺を
4 を法としてみる と
(係数の小さい数の法で見るとよい)
3y と 1 が等しいということ。
(3y でよい理由は
こちら)
このことを合同式で 3y ≡ 1 (mod 4) と記す。
4 を法としてみると
y は 0 から 3 までの 4 通りしかない。
y は 1, 2, 3 のどれかである。
4 を法として，
3y が 1 と等しくなるのは，
y = 3 のとき
4 x + 7 × 3 = 1 を解いて，
x = -5
よって，解のひとつは (x, y) = (-5, 3)
一般解は k を整数として (x, y) = (-5 + 7k, 3 + 4k)