2次の代数的な数

方程式 \(x^3=1\) の解は
\(x=1,\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)

これは，1の3乗根である。
虚数のものの一方を \(\omega\) とする。 虚数のものの他方は \(\omega^2\) である。
\(\omega^3=1\),  \(\omega^2+\omega+1=0\)

このとき， \(\omega^4=\omega\),  \(\omega^5=\omega^2\),  \(\omega^6=1\)
また， \(\omega^4+\omega^2+1=0\)
\(\omega^{10}+\omega^{5}+1=0\)
などが，なりたつ。

\(x^3-a^3=(x-a)(x-a\omega)(x-a\omega^2)\)

\(P(x)=x^4+2x^3-3x^2+x-2\) とする。
\(P(x)=(x^2+x+1)(x^2+x-5)+(5x+3)\) とかけるから (cf. 整式の除法  2次式の組立除法)
\(P(\omega)=3+5\omega\)

\(\alpha=3+\sqrt{2}\) とする。
\(\alpha\) は 2次方程式 \(x^2-6x+7=0\) の解の一つである。
2次式 \(x^2-6x+7\) の零点である … ① ともいう。
このように，2次式の零点となる数を　2次の代数的な数　ということにする。

\(\alpha^2=11+6\sqrt{2}\)
① より \(\alpha^2=6\alpha-7\) とかけることより，計算することもできる。

\(\alpha^3=(11+6\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=45+29\sqrt{2}\)
\((3+\sqrt{2})^3=3^3+3\cdot3^2\sqrt{2}+3\cdot3\cdot 2+2\sqrt{2}\) で計算することもできる。
\(\alpha^3=\alpha^2\cdot\alpha\) \(=(6\alpha-7)\alpha\) … ① を用いた。
\(=6\alpha^2-7\alpha\) \(=6(6\alpha-7)-7\alpha\) … ① を用いた。
\(=-47+29\alpha\)  より，計算することもできる。

一般に \(\alpha^n=a_n\alpha+b_n\) とする。
\(a_n\), \(b_n\) は整数で， \(a_1=1\),  \(b_1=0\)
\(\alpha^{n+1}=(a_n\alpha+b_n)\cdot\alpha =a_n\alpha^2+b_n\alpha =(6a_n+b_n)\alpha-7a_n\)
漸化式 \(a_{n+1}=6a_n+b_n\), \(b_{n+1}=-7a_n\)
\(a_n\) だけの漸化式は \(a_{n+2}=6a_{n+1}-7a_n\)

\(P(x)=x^4-5x^3-x^2+6x-4\) とする。
\(P(x)=(x^2-6x+7)(x^2+x-2)+(-13x+10)\) とかけるから (cf. 整式の除法  2次式の組立除法)
\(P(\alpha)=10-13\alpha\)