期待値と分散

\(X=\{x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n\}\)， \(P(X=x_k)=p_k\) とする。
確率分布の表

X	x1	x2	x3	…	xn	計
P	p1	p2	p3	…	pn	1

\(\displaystyle{\sum_{k=1}^nx_kp_k}\) を 確率変数の期待値または平均といい， E(X) で表す。単に m と書くこともある。

確率変数 X の期待値を mとする。
(X - m)² の平均を，X の分散といい， V(X) で表す。
すなわち，\(V(X)=\displaystyle{\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k}\)

X の分散の正の平方根を Xの標準偏差といい， σ(X) で表す。

V(X) = E(X²) - (E(X))²
(X² の平均) から (Xの平均)² を引いたものと等しい。

証明
\(V(X)=\displaystyle{\sum_{k=1}^n(x_k-m)^2p_k}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n{x_k}^2p_k-2m\sum_{k=1}^nx_kp_k+m^2\sum_{k=1}^np_k}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n{x_k}^2p_k-2m\cdot m+m^2\cdot 1}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n{x_k}^2p_k-m^2}\) \(=E(X^2)-(E(X))^2\)