逆関数 2016

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121212初版 160116 更新

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$y$ は

$x$ の関数であるとは，
2つの集合A, Bがあって，
AからBへの対応が，
Aのある元

$x$ ひとつに対して，
Bの元

$y$ がひとつだけ結びついている状態のこと。

であった。ある対応の逆対応を考える。

$x$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$
$y$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	$b_4$	$b_5$

上下逆にした，

$x$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	$b_4$	$b_5$
$y$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$

見出しはわざと，

$x$ を上，

$y$ を下にした。

この対応が，関数であるとき，逆関数という。
もとの関数が

$y=f(x)$ のとき，

$y=f^{-1}(x)$ とかく。

$f(x)=2x^2$ には逆関数は存在しない。

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	…	$a$	$-a$
$y$	$8$	$2$	$0$	$2$	$8$	…	$2a^2$	$2a^2$

このままでは，

$y$ から

$x$ への対応が，1対2だからである。

$f(x)=2x^2$ (

$x\geqq 0$ )には逆関数が存在して，

$f^{-1}(x)=\sqrt{\dfrac{x}{2}}$ である。

$f(x)=2x^2$ (

$x\leqq 0$ )には逆関数が存在して，

$f^{-1}(x)=-\sqrt{\dfrac{x}{2}}$ である。

逆関数の定義域は，もとの関数の値域である。
逆関数の値域は，もとの関数の定義域である。

グラフ

もとのグラフ

$C_1$ と逆関数のグラフ

$C_2$ は，
直線

$y=x$ に関して対称である。

なんとなれば，
P

$(a,b)$ が

$C_1$ 上の点とすると， Q

$(b,a)$ は

$C_2$ 上の点であるはず。
線分PQの中点は

$\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)$ であり，
これは，直線

$y=x$ 上にある。
また，直線PQの傾きは

$-1$ ,

$y=x$ の傾きは1なので，
直線

$y=x$ は線分PQの垂直二等分線であることがいえた。