ベクトル　外心

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三角形の外心をベクトルで表現してみたらどうなるでしょうか？

AB=5, BC=7, CA=3とよく知られている三角形の外心を求めてみます。
具体的には

$\overrightarrow{\rm AB}=\vec{b}$ ,

$\overrightarrow{\rm AC}=\vec{c}$ として，外心Pについて，

$\overrightarrow{\rm AP}=s\vec{b}+t\vec{c}$ なる，

$(s,t)$ を求めます。

まず

$\vec{b}\cdot\vec{b}=|\vec{b}|^2={\rm AB}^2=25$

$\vec{c}\cdot\vec{c}=|\vec{c}|^2={\rm AC}^2=9$

なにはなくとも，

$\vec{b}$ と

$\vec{c}$ の内積

$\vec{b}\cdot\vec{c}$ も求めておきます。
三角形があったら，2辺の内積は求めておきたい。夾角を知るかわりです。
余弦定理を使ってもいいですが，ベクトルの問題なので，それらしくやります。

${\rm BC}^2=|\overrightarrow{\rm BC}|^2=|\vec{c}-\vec{b}|^2=|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}$ なので，

$\vec{b}\cdot\vec{c}=\dfrac{{\rm AB}^2+{\rm AC}^2-{\rm BC}^2}{2}=-\dfrac{15}{2}$

もう一度いいますが，これが余弦定理のかわりです。
確かに，角Aの大きさは120°ですが。

次に，

$\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm AB}$ は求められるでしょうか。

答えは可能です。三角形PABはPA=PBの二等辺三角形で，3辺の長さが分かりますから，
さっきと同じ方法です。

PAの長さはいくらでしょうか。
外接円の半径です。
結局どこかの角の大きさは必要でした。

$A=120^\circ$ , BC=7を使って，正弦定理によって，外接円の半径

$R$ は

$2R=\dfrac{a}{\sin A}=7\div\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ だから，

$R=\dfrac{7}{\sqrt{3}}$
これでPAの長さが分かりました。

$\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm AB} =\dfrac{{\rm AP}^2+{\rm AB}^2-{\rm BP}^2}{2} =\dfrac{{\rm AB}^2}{2}=\dfrac{25}{2}$
同様に，

$\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm AC} =\dfrac{{\rm AP}^2+{\rm AC}^2-{\rm CP}^2}{2} =\dfrac{{\rm AC}^2}{2}=\dfrac{9}{2}$

結局AP, BPの長さは知らなくてもよかったようです。
ちゃんとかくと，

AB=ACの二等辺三角形ABCにおいて，

$\overrightarrow{\rm BA}\cdot\overrightarrow{\rm BC} =\dfrac{{\rm BA}^2+{\rm BC}^2-{\rm AC}^2}{2} =\dfrac{{\rm BC}^2}{2}$
これは正射影の考えでも説明できます。

$\overrightarrow{\rm AP}=s\vec{b}+t\vec{c}$
この両辺に

$\vec{b}$ を⌈掛けます⌋。このテクニックがcruxです。

$\overrightarrow{\rm AP}\cdot\vec{b}=s\vec{b}\cdot\vec{b}+t\vec{c}\cdot\vec{b}$
また，同様に，

$\overrightarrow{\rm AP}\cdot\vec{c}=s\vec{b}\cdot\vec{c}+t\vec{c}\cdot\vec{c}$

これで方程式ができました。

$25s-\dfrac{15}{2}t=\dfrac{25}{2}$ かつ

$-\dfrac{15}{2}s+9t=\dfrac{9}{2}$
簡約して

$10s-3t=5$ かつ

$-5s+6t=3$
したがって，

$(s,t)=\left(\dfrac{13}{15},\dfrac{11}{9}\right)$