131027 初版 131027 更新
Qm,1 = Qm-1,2
Qm,n = Qm,n-1 + Qm-1,n+1
\(Q_{2,n}=\dfrac{1}{2}n(n+3)\)
この漸化式を解いていこう。
m = 3 については、
\(Q_{3,n}=\displaystyle{\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2}(k+1)(k+4)}\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n(k+1)(k+4)}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n(k^2+5k+4)}\)
\(=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\dfrac{5}{2}n(n+1)+4n\)
\(=\dfrac{1}{6}n(2n^2+3n+1+15n+15+24)\)
\(=\dfrac{1}{3}n(n^2+9n+20)\)
\(=\dfrac{1}{3}n(n+4)(n+5)\)
よって、
\(Q_{3,n}=\dfrac{1}{6}n(n+4)(n+5)\)
すでに、忍耐である。