3 : 4 : 5 の
直角三角形の
内接円の
半径を求めよう。
AB = 5, BC = 4, CA = 3
内接円の中心をIとする。
円と辺BC, CA, AB との接点をP, Q, Rとする。
P, Q, R は円上の点だから，
IP = IQ = IR (I は
内心)
AB, BC, CAは円の
接線である。
例えば，Aは接線AB, ACの交点だから，
二本の接線の命題により，
AQ = AR
同様に，BP = BR, CP = CQ
また，
接線であるから，
IP は BC に垂直，
IQ は CA に垂直，
IR は AB に垂直
∠ACB は直角だから，
凧型四角形IPCQ は正方形である。
したがって，円の半径を r とすると，
CP = CQ = r,
AQ = AR = 3 - r,
BR = BP = 4 - r
AR + BR = AB だから (3 - r) + (4 - r) = 5
ゆえに，r = 1
r = CP = CQ = 1,
AQ = AR = 2,
BR = BP = 3
さらに，この図で，
角BACの二等分線が直線AIであるが，
直線AB の傾きは \(\dfrac{4}{3}\),
直線AI の傾きは \(\dfrac{1}{2}\),
美しい