2次正方行列の累乗を Cayley-Hamilton の定理を使って求めてみる。
例1
\(A=
\left(\begin{array}{cc}
2 & 1\cr
-4 & -2\cr
\end{array}\right)\) のとき，
\(A^2=O\) が成り立つ。
2以上のすべての自然数 n について，
\(A^n=O\) (べき零)
例2
\(A=
\left(\begin{array}{cc}
6 & 10\cr
-3 & -5\cr
\end{array}\right)\) のとき，
\(A^2-A=O\) が成り立つ。
すべての自然数 n について，
\(A^n=A\) (べき等)
例3
\(A=
\left(\begin{array}{cc}
1 & -3\cr
1 & -2\cr
\end{array}\right)\) のとき，
\(A^2+A+E=O\) が成り立つ。
n = 3k として，\(A^n=E\)
n = 3k + 1 として，\(A^n=A\)
n = 3k + 2 として，\(A^n=A^2=-A-E=
\left(\begin{array}{cc}
-2 & 3\cr
-1 & 1\cr
\end{array}\right)\)
例4
\(A=
\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\cr
1 & -1\cr
\end{array}\right)\) のとき，
\(A^2-2E=O\) が成り立つ。
n が偶数のとき，n = 2k として，\(A^n=2^{k}E\)
n が奇数のとき，n = 2k + 1 として，\(A^n=2^{k}A\)