2次の正方行列
\(A=\left(\begin{array}{cc}
a & b\cr
c & d\cr
\end{array}\right)\) において，
a + d = 4, ad - bc = 3 ならば，
A2 - 4A + 3E = 0 が成り立つ。
逆に，
A2 - 4A + 3E = 0 を満たす2次正方行列において，
(a + d , ad - bc) =(4, 3) だけだろうか。
A2 - 4A + 3E = 0 …① が成り立つと仮定する。
任意の2次正方行列A において，
CH Theorem より A2 - (a+d)A + (ad-bc)E = 0 …② が成り立つ。
② より A2=(a+d)A-(ad-bc)E
① に代入して， (a+d-4)A=(ad-bc-3)E … ③
③ より，
(i) a+d=4 とすると， ad-bc=3
(ii) a+d≠4 とすると，A = kE の形にかける。
① より，(k2 - 4k+3)E=O
i.e. k2 - 4k+3 = 0
これを満たす k は， 1 または 3
よって，
(a + d , ad - bc) =(2, 1),(6, 9)
(i), (ii) より，
(a + d , ad - bc) =(4,3), (2, 1),(6, 9)
一般でもなんとなく想像がつくなあ。