2次正方行列でのCayley-Hamilton の定理を説明する。
\(A=\left(\begin{array}{cc}
a & b\cr
c & d\cr
\end{array}\right)\) とすると，
\(A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O\)
この場合の証明は TaDaNo 計算である。
\(A^2=
\left(\begin{array}{cc}
a^2+bc & (a+d)b\cr
(a+d)c & bc+d^2\cr
\end{array}\right)\)
\((a+d)A-(ad-bc)E=
\left(\begin{array}{cc}
a^2+ad & (a+d)b\cr
(a+d)c & ad+d^2\cr
\end{array}\right)
-\left(\begin{array}{cc}
ad-bc & 0\cr
0 & ad-bc\cr
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc}
a^2+bc & (a+d)b\cr
(a+d)c & bc+d^2\cr
\end{array}\right)
\)
2次正方行列 \(A=
\left(\begin{array}{cc}
a & b\cr
c & d\cr
\end{array}\right)\) に対して
a + d を A のトレース(trace)といい tr(A) とかく。
ad - bc を A の行列式(determinant)といい det(A) とかく。
すると CH Theorem は
2次正方行列 A に対して，
\(A^2-{\rm tr}(A)\cdot A+\det(A)\cdot E=O\)
例
\(A=
\left(\begin{array}{cc}
3 & 1\cr
-2 & -1\cr
\end{array}\right)\) のとき，
tr(A) = 2, det(A) = (-3)-(-2) = -1 だから
\(A^2-2A-E=O\) が成り立つ。