3点 A, B, C をとる。3点で三角形ができるとする。
3点 A, B, C を通る平面はただ1つ決まって，
平面 ABC と名づけることができる。
点 D は平面 ABC 上にないとする。
空間の点 P の位置はどうやって表せばよいのか。
答えは，分解である。
これは，位置ベクトルの話題である。
3点のうち1つを基準点とする。
いま，A としよう。
結論を言うと
空間内の任意の点P に対して，
次の式を満たす実数の組 (s, t, u) がただ1組存在する。
\(\overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}+u\overrightarrow{\rm AD}\)
\(\overrightarrow{\rm AB}\) を A を基点とする B の位置ベクトル,
\(\overrightarrow{\rm AC}\) を A を基点とする C の位置ベクトル
\(\overrightarrow{\rm AD}\) を A を基点とする D の位置ベクトル,
\(\overrightarrow{\rm AP}\) を A を基点とする P の位置ベクトル
という。
P の位置ベクトルは B の位置ベクトルと C の位置ベクトルと D の位置ベクトルの線型結合でかけるという。
また，位置ベクトルの考えは座標の考えの一般化である。
係数の組 (s, t, u) を P の 基底 \(\overrightarrow{\rm AB}\), \(\overrightarrow{\rm AC}\), \(\overrightarrow{\rm AD}\) に関する
affine 座標 (斜交座標) という。
Pが平面ABC 上にあるならば u=0 であり，逆もいえる。
Pが平面ABD 上にあるならば t=0 であり，逆もいえる。
Pが平面ACD 上にあるならば s=0 であり，逆もいえる。
Pが平面ABC, ABD, ACD上にないとする。
Pを通り平面ABCに平行な平面が引け，それは直線AD と交わる。
交点をMとすると，
\(\overrightarrow{\rm AM}=u\overrightarrow{\rm AD}\) なる u がある。
Pを通りADに平行な直線が引け，それは平面ABC と交わる。
交点をNとすると，
\(\overrightarrow{\rm AN}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}\) なる (s,t) がある。
(なぜなら,
こちら)
\(\overrightarrow{\rm NP}=\overrightarrow{\rm AM}\) より，
\(\overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}+u\overrightarrow{\rm AD}\)