160503 初版 160515 更新
0 を基準に次々と右に3 ずつ加えて得られる，
次々と左に3ずつ減じて得られる左右に無限個並んでいる数の列を考えます。
…, -15, -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
これは，整数全体の部分集合でこの要素を
3の倍数 といいます。
例えば，21 は 0 に 3を 7回加えて得られます。
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 を 3 × 7 と書くことにします。
同じように，7の倍数を考えることができます。
一般に a × b と b × a は等しいことがわかります
(交換法則)。
3 × 7 を 3・7 と書くことがあります。
a × b を ab と書きます。
(a × b) × c と a × (b × c) は等しいことがわかりますので
(結合法則)，
a × b × c と書くことができます。
交換法則，結合法則によって，積は順序に依りません。
整数の掛け算は，一定数の繰り返しを意味しています。
(a + b) m と am + bm は等しいことがわかります。
m (a + b) と ma + mb も等しくなります。
21 = 3 × 7 ですが，整数 a, b に対して， a = bk なる整数 k が存在するとき，
a は b の倍数であるといいます。
b は a の約数であるともいいます。
例えば，21 は 3 の倍数です。7 の倍数でもあります。
3 は 21 の約数のうちの一つです。
7 も 21 の約数のうちの一つです。
3の倍数の全体を集合 B0 とします。
整数全体の集合はよく \(\mathbb{Z}\) で表されます。
B0 は \(\mathbb{Z}\) の部分集合です。
( \(B_0 \subset \mathbb{Z}\) と表します。)
整数だけど B0 に属さないものがあります。
例えば 16 です。
整数を小さい順に左から右へ並べたもののなかで，
3の倍数は0 を基準に定期的にありますが，
16 の最寄り左にある3の倍数を探します。
それは，15 で 3 × 5 です。
16 = 3 × 5 + 1 と表すことができますが，
5を 16を 3 で割った商，
16 と 15 との隔たりである 1 を余りと呼ぶことにします。
一般に，正の整数 b に対して，
bの倍数の全体を集合 B0 とします。
任意の整数 a に対して，
B0 の要素で 小さい順に隣りどうしな
b1, b2 (b1 < b2) で
\(b_1\leqq a \lt b_2\) なるものが存在します。
b1 には b1 = bq なる整数 q があるので，
a には a = bq + r を満たす，整数 q, r が一意に決まります。
特に r は 0 以上 b 未満の整数です。
q を a を b で割った商，
r を余りといいます。
例えば，3で割ったとき，
35 に対しては，商 11, 余り 2
36 に対しては，商 12, 余り 0
37 に対しては，商 12, 余り 1
2 に対しては，商 0, 余り 2
7 に対しては，商 2, 余り 1
-7 に対しては，商 -3, 余り 2 となります。
1 を基準に次々と右に2 ずつ掛けて得られる，
右に無限個並んでいる数の列を考えます。
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …
これは，整数全体の部分集合でこの要素を 2の累乗 といいます。
例えば，128 は 1 に 2を 7回掛けて得られます。
2・2・2・2・2・2・2 を 27 と書くことにします。
この数列のある数 a の左隣の数は，a ÷ 2 で得られる数です。
2の累乗の数列において，8 の 4つとなりは 128 ですから，
2
3・2
4 = 2
7
逆に，2
7÷2
4 = 2
3.
また，乗法は順序に依らないので，(2×3)
3 と
2
3×3
3 は等しい。
一般に，
a
m・a
n = a
m+n,
a
m÷a
n = a
m-n,
(ab)
n = a
n・b
n,
これを指数法則といいます。
2番目の式において，
m が n 以下の数であるときの意味は
後で考えたいと思います。
1番目と2番目の式は累乗の数列(等比数列の一種)
において，自然に現れる式です。