等比数列の和

• 等差数列の和
• 等比数列の和
• p乗数の和
• 分数の和
• 等差×等比 型の和(1次式×等比 型)
• 2次式×等比 型の和

等比数列の和を一気に求めるアイディアを， バニシング法第1 (vanishing method 1st) と呼ぶことにします。

S=	2	+ 6 + 18 + 54 + … + 2・3n-1
3S=		6 + 18 + 54 + … + 2・3n-1	+ 2・3n
-2S=	2		- 2・3n

ゆえに，S = 3ⁿ - 1

　一般には r が 1ではないとして， 公比がr である等比数列 {a_n} の初項から第n 項までの和S は，
\(S=\dfrac{a_1-a_n\cdot r}{1-r}\)
これを等比数列の和についてのFujita の公式と呼ぶことにします。 藤田岳彦先生による和の公式の解釈です。 n 項の和が高々2項でかけているところがポイントです。 ほとんどの項が消滅(vanishing)しています。

　Σ記号を使ってこの方法を表現してみます。
数列 {a_n} は公比 r の等比数列であるとします。
\(\displaystyle{S=\sum_{k=1}^n a_k}\) とおく。
\(\displaystyle{(1-r)S=\sum_{k=1}^n a_k}\) \(\displaystyle{-\sum_{k=1}^n a_k\cdot r}\)
等比数列だから \(a_k\cdot r=a_{k+1}\)，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k\cdot r}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1}+a_n\cdot r}\) \(\displaystyle{=\sum_{k=2}^{n} a_k+a_n\cdot r}\)
したがって， \((1-r)S\) \(\displaystyle{=\sum_{k=1}^n a_k}\) \(\displaystyle{-\sum_{k=2}^{n} a_k-a_n\cdot r}\)
ゆえに，(1 - r)S = a₁ - a_n・r

等比数列の和には次のような性質があります。
数列 {a_n} を公比r の等比数列とします。
初項から第3項までの和を T₁
第4項から第6項までの和を T₂
第7項から第9項までの和を T₃
とします。
\(T_1=a_1+a_2+a_3\)\(=a_1(1+r+r^2)\)
\(T_2=a_4+a_5+a_6\)\(=a_1(r^3+r^4+r^5)\)\(=a_1\cdot r^3(1+r+r^2)\)
\(T_3=a_7+a_8+a_9\)\(=a_1(r^6+r^7+r^8)\)\(=a_1\cdot r^6(1+r+r^2)\)
したがって，数列 {T_n} は公比 r³ の 等比数列です。