\(\displaystyle{(1-r)S=\sum_{k=1}^n a_k\cdot r^{k-1}}\)
\(\displaystyle{-\sum_{k=1}^n a_k\cdot r^k}\)
ここで，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k\cdot r^{k-1}}\)
\(\displaystyle{=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} a_{k+1}\cdot r^k}\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k\cdot r^k}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n-1} a_k\cdot r^k+a_n\cdot r^n}\)
また，，
\(a_{k+1}-a_k=d\)
\(\displaystyle{(1-r)S=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} dr^{k}-a_n\cdot r^n}\)
\(=a_1+\dfrac{dr-dr^n}{1-r}-a_n\cdot r^n\)
ゆえに，
\(S=\dfrac{a_1-(a_1-d)r-(a_n(1-r)+d)\cdot r^n}{(1-r)^2}\)
次のような方法もあります。
やはり，
バニシング法第1 を使っています。
(
2017センター試験 等差×等比の和への応用)
\(\displaystyle{(1-r)^2S=\sum_{k=1}^n a_k\cdot r^{k-1}}\)
\(\displaystyle{-2\sum_{k=1}^n a_k\cdot r^k}\)
\(\displaystyle{+\sum_{k=1}^n a_k\cdot r^{k+1}}\)
ここで，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k\cdot r^{k-1}}\)
\(\displaystyle{=a_1+a_2\cdot r+\sum_{k=3}^{n} a_{k}\cdot r^{k-1}}\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k\cdot r^k}\)
\(\displaystyle{=a_1\cdot r+\sum_{k=3}^{n} a_{k-1}\cdot r^{k-1}+a_n\cdot r^n}\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k\cdot r^{k+1}}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=3}^{n} a_{k-2}\cdot r^{k-1}+a_{n-1}\cdot r^n+a_n\cdot r^{n+1}}\)
ここで，等差中項の関係より
\(a_k-2a_{k-1}+a_{k-2}=0\)
\((1-r)^2S\)\(=a_1+(a_2-2a_1)r\)\(+(-2a_n+a_{n-1})r^n\)
\(+a_n\cdot r^{n+1}\)
ゆえに，
\(S=\dfrac{a_1-(a_1-d)r-(a_n(1-r)+d)\cdot r^n}{(1-r)^2}\)