整式の除法

　x - 2 との積について，次のような計算があります。
(x - 2)(x + 2) = x² - 4
(x - 2)(x + 1) = x² - x - 2
(x - 2)(2x + 1) = 2x² - 3x - 2
(x - 2)(2x + 3) = 2x² - x - 6
(x - 2)(2x + 5) = 2x² + x - 10
(x - 2)(x² + 2x + 4) = x³ - 8
(x - 2)(x² + 2x + 3) = x³ - x - 6
(x - 2)(x² + 2x + 2) = x³ - 2x - 4
　いずれの式でも，右辺の多項式は x - 2 の 倍数である ということがあります。 x - 2 は x² - x - 2 の 約数である ともいいます。 2x² - 3x - 2 は x - 2 を 因数にもつ ともいいます。 もちろん，どんな多項式でも x - 2 の倍数になるとは限りません。

(x - 2)(2x) = 2x² - 4x
(x - 2)(2x + 1) = 2x² - 3x - 2
(x - 2)(2x + 2) = 2x² - 2x - 4
(x - 2)(2x + 3) = 2x² - x - 6
(x - 2)(2x + 4) = 2x² - 8
(x - 2)(2x + 5) = 2x² + x - 10
これより，任意の b, c に対して，A = 2x² + bx + c は A - R が x - 2 を因数にもつような定数 R があることが分かります。
例えば，A = 2x² - x - 10 とすると，A + 4 は x - 2 を因数にもちます

　一般に 任意の多項式 A に対して，A - R が 1次式 x - k を因数にもつような定数R があります。 さらに，与えられた x についての多項式A, B に対して，A - R が B を 因数にもつような B より次数の低い多項式 R があります。

いま，A = x³ -2x² + 3x + 4, B = x² + 2x - 4　としましょう。
A - Bx = -x² + 7x + 4
A - B(x - 1) = 5x + 8
このとき，5x + 8 は A を B で割ったときの余り と呼ばれます。 x - 1 は 商 と呼ばれます。

　このように，与えられたA, B に対して， A = BQ + R を成り立たせる Q, R が決まります。 R は B より次数の低い多項式です。 この決まり方は一意です。
実際，2組あったとして， A = BQ + R = BQ' + R' としましょう。
これより B(Q - Q') = R' - R
R' - R は B の倍数で， しかも B より次数の低い多項式ですから，定数 0 しかありえません。
よって，R' - R = 0, すなわち，Q = Q' かつ R = R' が成り立ちます。
このことを 除法の原理 と呼んでいます。 除法とは A, B に対してこのような Q, R を求めることです。
　実際の手順は， 除法の筆算， 1次式の組立除法， 2次式の組立除法 を見てください。

　x についての多項式を P(x) という記号で表すことがあります。 (参考 関数) 例えば，P(x) = x² + 2x - 1 とします。 このとき，x に 1 を代入することを P(1) と書きます。 P(1) = 2. また，P(a) = a² + 2a - 1, P(a - 1) = a² - 2

　多項式 A(x) を 1次式 x - k で割ったときの商を Q(x)， 余りを R とします。R は定数です。
このとき， A(x) = (x - k) Q(x) + R が成り立ちます。
A(k) = (k - k) Q(k) + R ですから，
R = A(k) このことを 剰余の定理 と呼ぶことがあります。 この特別な場合を 因数定理 と呼んでいます。