双曲線

　ある2定点F, F' (焦点 focus) があって， F からと F' からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線といいます。

焦点 F(5, 0), F'(-5, 0)
|FP - F'P| = 6 (一定)とします。
A(a, 0) を 曲線 と x軸の正の部分 との共有点とします。 F より右 あるいは F' より左にはありません。
a の満たすべき式は，
(5 - a) - (a + 5) = 6
(a + 5) - (5 - a) = 6
ゆえに，a = -3, 3

x, k を 正の数として P(x, kx) を この曲線上の点とします。
x, k の満たすべき式は，
$\sqrt{(x+5)^2+(kx)^2}-\sqrt{(x-5)^2+(kx)^2}=6$
この式は，
$\sqrt{\left(1+\frac{5}{x}\right)^2+k^2} +\sqrt{\left(1-\frac{5}{x}\right)^2+k^2}=\dfrac{10}{3}$
と変形できます。
十分大きい x に対しては，
$\sqrt{1+k^2}$ は $\dfrac{5}{3}$ と ほぼ等しくなります。
この曲線の第1象限の部分は， 直線 $y=\dfrac{4}{3}x$ に， 下方から限りなく近づいていきます。