点C \((\overrightarrow{c})\) を中心として，
半径 r である
円があるとします。
この円上の点A \((\overrightarrow{a})\)における
接線ℓ のベクトル方程式を求めてみましょう。
P が ℓ 上にあることと
\(\overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm CP}={\rm CA}^2\)
は同値です。
実際，
三角形ACP は 角CAP を直角とする直角三角形です。
内積と余弦の定義により，
\(\overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm CP}\)
\(={\rm CA}\cdot{\rm CP}\cdot\cos\angle{\rm ACP}\)
\(={\rm CA}^2\)
これは，ベクトルの
正射影の考えです。
点P の
位置ベクトル
を \(\overrightarrow{p}\) とすると，
始点変更公式
によって，
\(\overrightarrow{\rm CA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\) ，
\(\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}\)
また，CA = r ですから，
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot
(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})=r^2\)
これが，Pの位置ベクトルについての方程式です。