三角形と内積

三角形OAB があるとき，
\(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}={\rm OA}\cdot{\rm OB}\cdot\cos\angle{\rm BOA}\) は内積の定義です。
余弦定理により\(\cos\angle{\rm BOA}=\dfrac{{\rm OA}^2+{\rm OB}^2-{\rm AB}^2} {2{\rm OA}\cdot{\rm OB}}\)
したがって， \(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}=\dfrac{{\rm OA}^2+{\rm OB}^2-{\rm AB}^2}{2}\)

特に，三角形OAB が A が直角の直角三角形だとしましょう。
OB² = OA² + AB² が成り立ちますから，
\(\overrightarrow{\rm OA}\cdot\overrightarrow{\rm OB}={\rm OA}^2\)
これは ベクトルOA が ベクトルOB の 正射影ベクトルになっているからです。
このみかたは，垂線の長さを求めるときに便利で，
平面における 点と直線の距離 空間における 点と平面の距離 を求めるときに使われます。