180807 初版 180807 更新
2次関数 \(f(x)=x^2-2x-3\) の値の変化について考えてみよう。
グラフ y = f(x) は 下に凸の放物線で，
軸の方程式は x = 1 です。
x ≦ 1 で単調に減少，x ≧ 1 で単調に増加します。
x = 1 で増減が切り替わります。x = 1 で極値をとるといいます。
定義域をすべての実数とするとき，
x = 1 で 最小となり，最大値はありません。
ある閉区間について，とりうる値の変化をみてみましょう。
閉区間 a ≦ x ≦ b について，
1 < a のとき，この区間では単調に増加するので，
x = a で最小となります。
閉区間 a ≦ x ≦ b について，
この区間に x = 1 を含んでいれば，
x = 1 で最小となります。
閉区間 a ≦ x ≦ b について，
b < 1 のとき，この区間では単調に減少するので，
x = b で最小となります。
閉区間 a ≦ x ≦ b について，
最大値は x = a または x = b のどちらかでとるのですが，
放物線は，軸に関して対称なので，
\(\dfrac{a+b}{2}=1\) ならば f(a) = f(b) が成り立ちます。
つまり，x = a と x = b で最大となります。
\(\dfrac{a+b}{2}<1\) ならば f(a) > f(b)
つまり，x = a で最大となります。
\(\dfrac{a+b}{2}>1\) ならば f(a) < f(b)
つまり，x = b で最大となります。
このことを式を用いて説明してみます。
\(f(b)-f(a)\)
\(=(b-p)^2-(a-p)^2\)
\(=(a+b-2p)(b-a)\)
\(=2\left(\dfrac{a+b}{2}-p\right)(b-a)\)
いま，p = 1, b > a ですから，上のことが言えました。