三角形ABC において，角A, B の大きさを α, \(\dfrac{\pi}{3}\) とする。
角C の外角は α + \(\dfrac{\pi}{3}\) であるが，
sin (π - θ) = sin θ だから，
sin は内角と等しい。
三角形ABC の外接円の半径を R とすると，
正弦定理により，
BC = 2R sin α ,
CA = \(\sqrt{3}\)R ,
AB = 2R sin \(\left(α+\dfrac{\pi}{3}\right)\) ,
第1余弦定理により
AB = CA cos α + CB cos \(\dfrac{\pi}{3}\)
よって，
\(\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\sin\alpha+\sqrt{3}\cos\alpha\right)\)