131130 初版 131130 更新
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f(θ) = a sin θ + b cos θ のとりうる値の範囲について 考えてみよう。
簡単のために a, b ともに正の数とする。
f(θ) = a sin θ + b cos θ において，
\(r = \sqrt{a^2+b^2}\),  \(\left(\cos\alpha,\sin\alpha\right) =\left(\dfrac{a}{r},\dfrac{b}{r}\right)\) なる r, α を用いて
f(θ) = r sin (θ + α )
この関数の周期は 2π である。
a, b ともに正の数だから 0 < α < \(\dfrac{\pi}{2}\)

0 ≦ θ < 2π とする。

-2 ≦ f(θ) ≦ 2
θ + α = \(\dfrac{\pi}{2}\) なる θ を θ1
θ + α = \(\dfrac{3}{2}\pi\) なる θ を θ2 とする。
0 ≦ θ1 < 2π,  0 ≦ θ2 < 2π
\(f(\theta_1)=r\sin\dfrac{\pi}{2}=r\),  \(f(\theta_2)=r\sin\dfrac{3}{2}\pi=-r\)

0 ≦ θ ≦ π とする。

α ≦ θ+α ≦ π+α
0 ≦ θ1 ≦ π だから，最大値は r をとる。
θ2 > π に注意する。
θ 0 … θ1 … π
f(θ) f(0) ↗ r ↘ f(π)
f(0) と f(π) の比較は ① が便利である。
f(0) = b,  f(π)=-b より， 最小値は -b である。
-b ≦ f(θ) ≦ r

0 ≦ θ ≦ \(\dfrac{\pi}{2}\) とする。
この問いも全く難しくない。
式の扱いに注意するだけである。
このように2, 3年生の数学はまだまだ見方を改善することができる。

α ≦ θ+α ≦ \(\dfrac{\pi}{2}\)+α
0 ≦ θ1 ≦ \(\dfrac{\pi}{2}\) だから，最大値は r をとる。
θ 0 … θ1 … \(\dfrac{\pi}{2}\)
f(θ) f(0) ↗ 2 ↘ \(f(\dfrac{\pi}{2})\)
f(0) と \(f(\dfrac{\pi}{2})\) の比較は ① が便利である。
f(0) = b,  \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=a\) より，
最小値は a または b のどちらか小さいほうである。

\(y = \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta\)
\(y = \sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta\)