2次式の平方完成

よく2次式の平方完成というと，グラフをかく際の平行移動量を求めるためにあるような感じだがたぶんそれだけではもったいない。

例えば，
\(x^2-3x\)の値の変化を考えてみたとき，
\(x>0\)の区間については，第1項は増加，第2項は減少である。
ところが，

\(x\)	0	1	2	3	4	5
\(x^2\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(9\)	\(16\)	\(25\)
\(-3x\)	\(0\)	\(-3\)	\(-6\)	\(-9\)	\(-12\)	\(-15\)
\(x^2-3x\)	0	\(-2\)	\(-2\)	\(0\)	\(4\)	\(10\)

なので，どこかで減少から増加に転ずる。
2項は1項にまとめられないかと考える。

例えば，
\(x^2+3x\)の値の変化を考えてみたとき，
\(x<0\)の区間については，第1項は減少，第2項は増加である。
ところが，

\(x\)	\(-5\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)
\(x^2\)	\(25\)	\(16\)	\(9\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)
\(+3x\)	\(-15\)	\(-12\)	\(-9\)	\(-6\)	\(-3\)	\(0\)
\(x^2+3x\)	\(10\)	\(4\)	\(0\)	\(-2\)	\(-2\)	\(0\)

なので，どこかで減少から増加に転ずる。
2項は1項にまとめられないかと考える。

ところで，

\(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2=x^2-3x+\dfrac{9}{4}\)
\(\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2=x^2+3x+\dfrac{9}{4}\)

これを，逆に使えば，

\(x^2-3x=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\)
\(x^2+3x=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}\)

これが，2次式の平方完成である。
右辺の第2項は定数であるから，
実質第1項の\((x-p)^2\)で決まっている。
だから，2乗に比例する関数に帰着する。

具体的な技法はここをみよ。