漸化式で項が生成されていくのは面白い。
私たちの，数列の問題での大きな目標は
項間関係(漸化式)から一般項を求めることと，
その数列の和を求めることである。
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例5 いわゆる3項間漸化式
漸化式 \(a_1=1\), \(a_2=3\), \(a_{n+1}-3a_n+2a_n=0\)
まず，
有名な変形で
\(a_{n+1}-3a_n+2a_n=0\)
⇔ \(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)… (F1)
⇔ \(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)… (F2)
数列のcruxである。
(F1)より \(a_{n+1}-a_{n}=2^{n-1}(a_2-a_1)=2^n\)… (F3)
(F2)より \(a_{n+1}-2a_{n}=a_2-2a_1=1\)… (F4)
(F3)(F4)より \(a_{n}=2^n-1\)