漸化式で項が生成されていくのは面白い。
私たちの，数列の問題での大きな目標は
項間関係(漸化式)から一般項を求めることと，
その数列の和を求めることである。
例1
漸化式 \(a_{n+1}-a_n=d\) すなわち，\(a_{n+1}=a_n+d\)
逐次的あるいは帰納的な操作で
次の式がでる過程は辿ってみたほうがよい。
数列のcruxである。
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
例2
漸化式 \(a_{n+1}=ra_n\)
逐次的あるいは帰納的な操作で
次の式がでる過程は辿ってみたほうがよい。
数列のcruxである。
\(a_n=r^{n-1}\cdot a_1\)
例3
漸化式 \(a_{n+1}-a_{n}=b_n\)
逐次的あるいは帰納的な操作で
次の式がでる過程は辿ってみたほうがよい。
数列のcruxである。
1 より大きい n に対しては，\(\displaystyle{a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n}\)
例4
漸化式 \(a_1=1\), \(a_{n+1}=3a_n+4\)
まず，
有名な変形で
\(a_{n+1}=3a_n+4\) ⇔
\(a_{n+1}+2=3(a_n+2)\)
数列のcruxである。
\(a_{n}+2=3^{n-1}(a_1+2)\)
すなわち，\(a_n=3^n-2\)
つづく