131020 初版
\(S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^nk(k+1)=\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)}\)
Σ 計算の例題にあったりする。
計算練習としてはいいかもしれないけど、
テストに出すのはどうかな。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\) よりも美しい式だと思う。
説明 1
ak = k(k+1) とおくと、
3ak = k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)
これを使うと、
\(\displaystyle{3S_n=\sum_{k=1}^{n}3a_k}\)
\(\displaystyle{=\sum_{k=1}^{n}\left(k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\right)}\)
\(=n(n+1)(n+2)\)
次のことを使っている。
数列 {a
n} の 一般項が
数列 {b
n} を使って、
a
n = b
n+1 - b
n と表されるならば、
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(b_{k+1}-b_{k})}\)
\(=b_{n+1}-b_{1}\)
(
証明)
説明 2
k(k+1) = 2 • k+1C2
S1 = 1• 2 = 2 • 2C2
= 2 • 3C3
パスカルの三角形
を生成する漸化式を使うと
S
2 = S
1 + 2• 3
= 2 (
3C
3 +
3C
2 )
= 2 •
4C
3 = \(\dfrac{1}{3} \cdot 4\cdot 3\cdot 2\)
S
3 = S
2 + 3• 4
= 2 (
4C
3 +
4C
2 )
= 2 •
5C
3 = \(\dfrac{1}{3} \cdot 5\cdot 4\cdot 3\)
S
4 = S
3 + 4• 5
= 2 (
5C
3 +
5C
2 )
= 2 •
6C
3 = \(\dfrac{1}{3} \cdot 6\cdot 5\cdot 4\)
S
5 = S
4 + 5• 6
= 2 (
6C
3 +
6C
2 )
= 2 •
7C
3 = \(\dfrac{1}{3} \cdot 7\cdot 6\cdot 5\)
帰納的に
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k}\)
\(=2\cdot {}_{n+2}{\rm C}_{3}\)
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2)=\dfrac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)}\)
なども同様に計算することができる。