2次式 \(f(x)=ax^2+bx+c\)
方程式 \(f(x)=0\) を考える。
2つの解を α, β とする。

\(\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}\),  \(\alpha\beta=\dfrac{c}{a}\)

実際
\(\alpha+\beta=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\dfrac{b}{a}\)
\(\alpha\beta=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) \(=\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\dfrac{c}{a}\)

\(f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\)

実際
\(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(=a\left(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right)\) \(=a(x-\alpha)(x-\beta)\)

α, β に対して，\(p=\alpha+\beta\),  \(q=\alpha\beta\) とすると
α, β は 2次方程式\(x^2-px+q=0\) の解である。

実際
\(x^2-px+q\) \(=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\) \(=(x-\alpha)(x-\beta)\)

\((\alpha-\beta)^2=\dfrac{D}{a^2}\)

実際
\((\alpha-\beta)^2\) \(=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\) \(=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{4c}{a}=\dfrac{b^2-4ac}{a^2}\)

放物線\(y=f(x)\) の軸の方程式は \(x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\)

実際
放物線の軸の方程式は \(x=-\dfrac{b}{2a}\)
一方，\(\dfrac{\alpha+\beta}{2}=-\dfrac{b}{2a}\)

方程式 \(f(x)=0\) の解がともに 1よりも大きい条件は
\(D\geqq 0\) かつ \((\alpha-1) + (\beta-1)> 0\) かつ \((\alpha-1)(\beta-1)> 0\)
言い換えてみる 南麻布メモ