151115 初版 151115 更新
10 を 底 とする対数を，常用対数という。
210 = 1024
213 = 8192
223 = 8388608
3 < log10 210 < 4
よって，0.3 < log10 2 < 0.4
3 < log10 213 < 4
よって，\(\dfrac{3}{13}\) < log10 2 < \(\dfrac{4}{13}\) < 0.3077
6 < log10 223 < 7
よって，\(\dfrac{6}{23}\) < log10 2 < \(\dfrac{7}{23}\) < 0.3044
32 = 9
310 = 59049
319 = 1162261467
0 < log10 32 < 1
よって，0 < log10 3 < 0.5
4 < log10 310 < 5
よって，0.4 < log10 3 < 0.5
9 < log10 319 < 10
よって，0.473 < \(\dfrac{9}{19}\) < log10 3 < \(\dfrac{10}{19}\)
log102 = a,
log103 = b とする。
log104 = 2a
log105 = 1 - a
log106 = a + b
log108 = 3a
log109 = 2b
0.3 < log102 < 0.4 より
0.6 < log105 < 0.7
40 < 72 < 50 より
1 + 2log102 < 2log107 < 1 + log105
0.8 < log107 < 0.85
また，76 = 117649 より
5 < 6 log107 < 6
log107 > \(\dfrac{5}{6}\) > 0.83
74 = 2401
log102400 = 2 + 3a + b だから，
log107 は \(\dfrac{2+3a+b}{4}\) (=c とする) より少し大きい
a = 0.30103, b = 0.47712 とすると c は およそ 0.84505
3.14 < π < \(\sqrt{10}\) < 3.17 より
log103.14 <
log10π < 0.5 < log103.17
表 1 (小数第8位まで あと切り捨て)
| x |
x の常用対数 |
| 1 |
0 |
| 2 |
0.30102999 |
| 3 |
0.47712125 |
| 4 |
0.60205999 |
| 5 |
0.69897000 |
| 6 |
0.77815125 |
| 7 |
0.84509804 |
| 8 |
0.90308998 |
| 9 |
0.95424250 |
| 10 |
1 |
N = 3100 とする。
47.71 < log10 N < 47.72
したがって，
5× 1047 < N < 6 × 1047
ゆえに，
N は 48桁の整数で，最高位の数字は 5
p = 3-101 とする。
-48.19 < log10 p < -48.18
(-49+0.81) < log10 p < (-49+0.82)
したがって，
6× 10-49 < p < 7 × 10-49
ゆえに，
p は 小数点の右に 0 が48個続き，小数第49位の数字は 6