131027 初版 131027 更新
Qm,1 = Qm-1,2
Qm,n = Qm,n-1 + Qm-1,n+1
\(Q_{4,n}=\dfrac{1}{24}n(n+5)(n+6)(n+7)\)
まあ、予想はつく。
この漸化式を解いていこう。
m = 5 については、
\(Q_{5,n}=\displaystyle{\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{24}(k+1)(k+6)(k+7)(k+8)}\)
ここで
k (k+6) (k+7) (k+8) (k+9) - (k-1) (k+5) (k+6) (k+7) (k+8)
= (k+6) (k+7) (k+8) ( k(k+9) - (k-1) (k+5) )
= (k+6) (k+7) (k+8) (5k + 5)
= 5 (k+1) (k+6) (k+7) (k+8)
を用いれば、
\(Q_{5,n}=\dfrac{1}{120}n(n+6)(n+7)(n+8)(n+9)\)
よって、
\(Q_5=\dfrac{1}{120}\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\)
\(=\dfrac{10!}{5!\cdot 6!}\)
まあ早い段階でも、例えば
k (k+4) (k+5) - (k-1) (k+3) (k+4)
= (k+4) ( k(k+5) - (k-1) (k+3))
= (k+4) ( 3k + 3) = 3 (k+1) (k+4)
を使えば、
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n(k+1)(k+4)}\)
\(=\dfrac{1}{3}n(n+4)(n+5)\)
は、直ちにでる。
まあ、私は従来の n 乗和の計算は鍛錬のためだけにあって、
数学的な意味は余り感じない。
公式も覚えにくい。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^nk(k+1)(k+2)(k+3)=\dfrac{1}{5}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\)
は覚えやすい。
そして、この手の和の求め方は、強力な方法である。