http://goo.gl/MFRFj 130109 初版
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無限等比数列について
例1:
\(a_n=\left(\dfrac{3}{2}\right)^n\)
これは初項\(\dfrac{3}{2}\), 公比\(\dfrac{3}{2}\)の等比数列である。
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
∞ |
| \(a_n\) |
\(\dfrac{3}{2}\) |
\(\dfrac{9}{4}\) |
\(\dfrac{27}{8}\) |
\(\dfrac{81}{16}\) |
\(\dfrac{243}{32}\) |
↗ |
+∞ |
数列の極限の問題である。
この例では，n を大きくすると，\(a_n\)の値はどんな正の数よりも大きくなる。
このことを，数列\(\{a_n\}\)は正の無限大に発散するという。
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty}\) とか
\(a_n\rightarrow +\infty\) (as \(n\rightarrow\infty\)) とかく。
例2:
\(a_n=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^n\)
これは初項\(-\dfrac{3}{2}\), 公比\(-\dfrac{3}{2}\)の等比数列である。
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
∞ |
| \(a_n\) |
\(-\dfrac{3}{2}\) |
\(\dfrac{9}{4}\) |
\(-\dfrac{27}{8}\) |
\(\dfrac{81}{16}\) |
\(-\dfrac{243}{32}\) |
? |
? |
この例では，n を大きくすると，\(a_n\) の値は
偶数項では，どんな正の数よりも大きくなり，
奇数項では，どんな負の数よりも小さくなる。
このことを，数列\(\{a_n\}\)は振動するという。
lim を使って書くことはできない。
振動を発散のなかに入れることがある。
例3:
\(a_n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\)
これは初項\(\dfrac{2}{3}\), 公比\(\dfrac{2}{3}\)の等比数列である。
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
∞ |
| \(a_n\) |
\(\dfrac{2}{3}\) |
\(\dfrac{4}{9}\) |
\(\dfrac{8}{27}\) |
\(\dfrac{16}{81}\) |
\(\dfrac{32}{243}\) |
↘ |
0 |
この例では，n を大きくすると，\(a_n\) の値は0に近づいていく。
このことを，数列\(\{a_n\}\)は 0 に収束するという。
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0}\) とか
\(a_n\rightarrow 0\) (as \(n\rightarrow\infty\)) とかく。
例4:
\(a_n=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n\)
これは初項\(-\dfrac{2}{3}\), 公比\(-\dfrac{2}{3}\)の等比数列である。
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
… |
∞ |
| \(a_n\) |
\(-\dfrac{2}{3}\) |
\(\dfrac{4}{9}\) |
\(-\dfrac{8}{27}\) |
\(\dfrac{16}{81}\) |
\(-\dfrac{32}{243}\) |
→ |
0 |
この例では，n を大きくすると，\(a_n\) の値は0に近づいていく。
このことを，数列\(\{a_n\}\)は 0 に収束するという。
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0}\) とか
\(a_n\rightarrow 0\) (as \(n\rightarrow\infty\)) とかく。
初項 a, 公比 r の等比数列は，
a=0 のとき， 0 に収束する
\(a\not= 0\)とすると
-
r > 1 のとき，正の無限大に発散する
-
r = 1 のとき，a に収束する
-
-1 < r < 1 のとき，0 に収束する
-
r < -1 のとき，振動する
こんな感じで，例を挙げていく。