立体の体積の定義
ある空間図形 D がある。
一本の数直線 x 軸を用意する。
数直線上の 点 x における軸を法線とする平面を考え，
立体 D を切り取る断面の面積を S(x) とする。
S(x) のリーマン和の極限が体積である。
計算上は，
線分 a ≦ x ≦ b の各点 xk に対して，
S(xk)wk を積算しているのである。
面積とか体積はしっかり定義されていない。
でも存在している量である。
小・中学校の教科書がよくできていて，
図形に敷き詰めた細かい正方形の「個数」が面積なのだといっている。
私は，これをもって，面積，体積の定義とする。
重みつき和で必要かつ十分である。
面積で説明しても同じなので，平面図形で説明するが，
空間図形も想像しながら読んでほしい。
OAを半径とする円から，OBを半径とする円を除いた部分の面積を考える。
線分BA 上の任意の点 P において，OP を半径とする円を考える。
この円の P における接線は 線分BA と垂直である。
求める部分の面積は，これら円周の積算とみることができる。
これがいわゆるバームクーヘン求積法である。
例
実際 OA=r1, OB=r2とする。
OP=x における OP を半径とする円周の長さは 2πx である。
\(\displaystyle{\int_{r_2}^{r_1} 2\pi x\ dx
=\pi\left({r_1}^2-{r_2}^2\right)}\)
確かに大円から小円をくりぬいた面積に等しい
入試に使ってよいかどうかは，採点者による。