160503 初版 161121 更新
数列の項の和を考えます。
数列 {3n - 1} の初項から第10 項までの和を
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}(3k-1)}\) と書きます。
すなわち，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{10}(3k-1)=2+5+8+11+14+17+20+23+26+29}\)
ただΣ記号の意味を述べているだけで，
計算しているわけではありません。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}\)
Σ計算の具体例は
こちらを見てください。。
実際に，有名な数列の和を求めてみましょう。
1, 2, 3, 4, …, 100
1 から 100 までの自然数の和です。
Σ記号を使って表せば，
\(S=\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}k}\) はいくらになるかということです。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}(101-k)}\) は S と等しいことを使って，
\(2S=\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}k}\)
\(+\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}(101-k)}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^{100}(k+(101-k))}\)
\(=101×100\)
したがって，S = 5050 となります。
一般に，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n k=\dfrac{1}{2}n(n+1)}\)
左辺は，k が 1 から n までわたるときの項の和ということで，
Σ記号を使わなければ k はないはずです。
計算結果(右辺)に k は出てきません。
次のような性質があります。
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k}\)
\(+\displaystyle{\sum_{k=1}^n b_k}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)}\)
また，c を k に依らない定数とすれば，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n ca_k}\)
\(=c\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k}\)
特に，
\(\displaystyle{\sum_{k=1}^n c=cn}\)
数列 {an} に対して，
初項から第n 項までの和 Sn,
\(\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^n a_k}\) を考えます。
これによって，数列 {Sn} を作っています。
和の定義によって，
S1 = a1
n≧2 のとき，Sn = Sn-1 + an
が成り立ちます。